Математические кольца. Кольца: определение, свойства, примеры. Поле частных и кольцо частных
Определение 4.1.1. Кольцо (K , +, ) – это алгебраическая система с непустым множеством K и двумя бинарными алгебраическими операциями на нем, которые будем называть сложением и умножением . Кольцо является абелевой аддитивной группой, а умножение и сложение связаны законами дистрибутивности: (a + b ) c = a c + b c и с (a + b ) = c a + c b для произвольных a , b , c K .
Пример 4.1.1. Приведем примеры колец.
1. (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно кольца целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Данные кольца называются числовыми .
2. (Z / n Z , +, ) – кольцо классов вычетов по модулю n N с операциями сложения и умножения.
3. Множество M n (K ) всех квадратных матриц фиксированного порядка n N с коэффициентами из кольца (K , +, ) с операциями матричного сложения и умножения. В частности, K может быть равно Z , Q , R , C или Z /n Z приn N .
4. Множество всех вещественных функций, определенных на фиксированном интервале (a ; b ) вещественной числовой оси, с обычными операциями сложения и умножения функций.
5. Множество полиномов (многочленов) K [x ] с коэффициентами из кольца (K , +, ) от одной переменной x с естественными операциями сложения и умножения полиномов. В частности, кольца полиномов Z [x ], Q [x ], R [x ], C [x ], Z /n Z [x ] приn N .
6. Кольцо векторов (V 3 (R ), +, ) c операциями сложения и векторного умножения.
7. Кольцо ({0}, +, ) с операциями сложения и умножения: 0 + 0 = 0, 0 0 = = 0.
Определение 4.1.2. Различают конечные и бесконечные кольца (по числу элементов множества K ), но основная классификация ведется по свойствам умножения. Различают ассоциативные кольца, когда операция умножения ассоциативна (пункты 1–5, 7 примера 4.1.1) и неассоциативные кольца (пункт 6 примера 4.1.1: здесь , ). Ассоциативные кольца делятся на кольца с единицей (есть нейтральный элемент относительно умножения) и без единицы , коммутативные (операция умножения коммутативна) и некоммутативные .
Теорема 4.1.1. Пусть (K , +, ) – ассоциативное кольцо с единицей. Тогда множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца K – мультипликативная группа.
Проверим выполнение определения группы 3.2.1. Пусть a , b K * . Покажем, что a b K * . (a b ) –1 = b –1 а –1 K . Действительно,
(a b ) (b –1 а –1) = a (b b –1) а –1 = a 1 а –1 = 1,
(b –1 а –1) (a b ) = b –1 (а –1 a ) b = b –1 1 b = 1,
где а –1 , b –1 K – обратные элементы к a и b соответственно.
1) Умножение в K * ассоциативно, так как K – ассоциативное кольцо.
2) 1 –1 = 1: 1 1 = 1 1 K * , 1 – нейтральный элемент относительно умножения в K * .
3) Для
a
K
* ,
а
–1 K
* ,
так как (а
–1) a
=
a
(а
–1) =
1
(а
–1) –1
=
a
.
Определение 4.1.3. Множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца (K , +, ) называют мультипликативной группой кольца .
Пример 4.1.2. Приведем примеры мультипликативных групп различных колец.
1. Z * = {1, –1}.
2. M n (Q ) * = GL n (Q ), M n (R ) * = GL n (R ), M n (C ) * = GL n (C ).
3. Z /n Z * – множество обратимых классов вычетов, Z /n Z * = { | (k , n ) = 1, 0 k < n }, при n > 1 | Z /n Z * | = (n ), где – функция Эйлера.
4. {0} * = {0}, так как в данном случае 1 = 0.
Определение 4.1.4. Если в ассоциативном кольце (K , +, ) с единицей группа K * = K \{0}, где 0 – нейтральный элемент относительно сложения, то такое кольцо называют телом или алгеброй с делением . Коммутативное тело называется полем .
Из данного определения очевидно, что в теле K * и 1 K * , значит, 1 0, поэтому минимальное тело, являющееся полем, состоит из двух элементов: 0 и 1.
Пример 4.1.3.
1. (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно числовые поля рациональных, вещественных и комплексных чисел.
2. (Z /p Z , +, ) – конечное поле из p элементов, если p – простое число. Например, (Z /2Z , +, ) – минимальное поле из двух элементов.
3.
Некоммутативным
телом является тело кватернионов –
совокупность кватернионов, то есть
выражений вида h
=
a
+ bi
+ cj
+ dk
,
где a
,
b
,
c
,
d
R
,
i
2 =
= j
2 = k
2 = –1,
i
j
= k
= – j
i
,
j
k
= i
= – k
j
,
i
k
= – j
= – k
i
,
с операциями сложения и умножения.
Кватернионы складываются и перемножаются
почленно с учетом указанных выше формул.
Для всякого h
0
обратный кватернион имеет вид:
.
Различают кольца с делителями нуля и кольца без делителей нуля.
Определение 4.1.5. Если в кольце найдутся ненулевые элементы a и b такие, что a b = 0, то их называют делителями нуля , а само кольцо – кольцом с делителями нуля . В противном случае кольцо называется кольцом без делителей нуля .
Пример 4.1.4.
1. Кольца (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – кольца без делителей нуля.
2.
В
кольце (V
3 (R
), +, )
каждый отличный от нуля элемент является
делителем нуля, поскольку
для всех
V
3 (R
).
3.
В
кольце матриц M
3 (Z
)
примерами делителей нуля являются
матрицы
и
,
так как A
B
=
O
(нулевая матрица).
4. В кольце (Z / n Z , +, ) с составным n = k m , где 1 < k , m < n , классы вычетов и являются делителями нуля, так как .
Ниже приведем основные свойства колец и полей.
Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия колец. Приведены основные определения и свойства элементов кольца, рассмотрены ассоциативные кольца. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения
Кольца
Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением ) называется ассоциативным кольцом с единицей , если:
Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным кольцом. Коммутативные кольца являются одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.
Замечания 1.10.1 .
Примеры 1.10.2 (примеры ассоциативных колец) .
Мы уже убедились, что группа вычетов (Z n ,+)={C 0 ,C 1 ,...,C n-1 }, C k =k+nZ , по модулю n с операцией сложения , является коммутативной группой (см. пример 1.9.4, 2)).
Определим операцию умножения, полагая . Проверим корректность этой операции . Если C k =C k" , C l =C l" , то k"=k+nu , l"=l+nv , , и поэтому C k"l" =C kl .
Так как (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m , то является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей C 1 кольцом вычетов по модулю n ).
Свойства колец (R,+,.)
Лемма 1.10.3 (бином Ньютона) . Пусть R - кольцо с 1 , , . Тогда:
Доказательство.
Определение 1.10.4 . Подмножество S кольца R называется подкольцом , если:
а) S - подгруппа относительно сложения в группе (R,+) ;
б)для имеем ;
в)для кольца R с 1 предполагается, что .
Примеры 1.10.5 (примеры подколец) .
Задача 1.10.6 . Описать все подкольца в кольце вычетов Z n по модулю n .
Замечание 1.10.7 . В кольце Z 10 элементы, кратные 5 , образуют кольцо с 1 , не являющееся подкольцом в Z 10 (у этих колец различные единичные элементы).
Определение 1.10.8 . Если R - кольцо, и , , ab=0 , то элемент a называется левым делителем нуля в R , элемент b называется правым делителем нуля в R .
Замечание 1.10.9 . В коммутативных кольцах, естественно, нет различий между левыми и правыми делителями нуля.
Пример 1.10.10 . В Z , Q , R нет делителей нуля.
Пример 1.10.11 . Кольцо непрерывных функций C имеет делители нуля. Действительно, если
то , , fg=0 .
Пример 1.10.12
. Если n=kl
, 1 Лемма 1.10.13
. Если в кольце R
нет (левых) делителей нуля, то из ab=ac
, где , , следует, что b=c
(т. е. возможность сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левых делителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля). Доказательство. Если ab=ac
, то a(b-c)=0
. Так как a
не является левым делителем нуля, то b-c=0
, т. е. b=c
. Определение 1.10.14
. Элемент называется нильпотентным
, если x n =0
для некоторого . Наименьшее такое натуральное число n
называется степенью нильпотентности элемента
. Ясно, что нильпотентный элемент является делителем нуля (если n>1
, то , ). Обратное утверждение неверно (в Z 6
нет нильпотентных элементов, однако 2
, 3
, 4
- ненулевые делители нуля). Упражнение 1.10.15
. Кольцо Z n
содержит нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда n
делится на m 2
, где , . Определение 1.10.16
. Элемент x
кольца R
называется идемпотентом
, если x 2 =x
. Ясно, что 0 2 =0
, 1 2 =1
. Если x 2 =x
и , , то x(x-1)=x 2 -x=0
, и поэтому нетривиальные идемпотенты
являются делителями нуля. Через U(R)
обозначим множество обратимых элементов ассоциативного кольца R
, т. е. тех , для которых существует обратный элемент s=r -1
(т. е. rr -1 =1=r -1 r
). Определение. Кольцом называется алгебра К = ‹К, +, -, ·, 1› типа (2, 1, 2, 0), главные операции которой удовлетворяют следующим условиям: Кольцо. Определение.
Примеры. Простейшие свойства колец. Гомоморфизм
и изоморфизм колец. Определение. Кольцом
называется алгебра К = ‹К, +, -, ·, 1› типа (2, 1, 2, 0), главные операции
которой удовлетворяют следующим условиям: (a + b) · c = a · c + b · c, c· (a + b) = c · a + c · b. Основное множество
К кольца К обозначается также через |К|. Элементы множества
К называются элементами кольца К. Опред. Группа ‹К, +, -› называется аддитивной группой
кольца К. Нуль этой группы, то
есть нейтральный элемент относительно
сложения, называется нулем кольца и обозначается
0 или 0 К. Опред. Моноид ‹К, ·, 1› называется мультипликативным
моноидом кольца К. Элемент 1, обозначаемый
также через 1 К, являющийся нейтральным
относительно умножения, называется единицей
кольца К. Кольцо К называется коммутативным,
если a · b = b · a для любых элементов a , b
кольца. Кольцо К называется нулевым,
если |К| = {0 К }. Опред. Кольцо К называется областью
целостности, если оно коммутативно, 0 К ≠ 1 К и для любых a, b Î К из a· b = 0 следует a = 0 или b = 0. Опред. Элементы a и b кольца К называются делителями
нуля, если a ≠ 0, b ≠ 0 или ba = 0. (Любая область
целостности не имеет делителей нуля.) Пример. Пусть К – множество
всех действительных функций,
определенных на множестве R действительных
чисел. Сумма f + g, произведение f · g, функция f(-1) и единичная функция 1 определяются:
(f + g) (х) = f (х) + g(х); (f · g)(х) = f(х) · g(х); (–f) (х) =–f (х); 1(х) = 1.
Непосредственная проверка показывает,
что алгебра ‹К, +, -, ·, 1› является коммутативным
кольцом. Простейшие свойства. Пусть К – кольцо. Так как алгебра
‹К, +, -› есть абелева группа, то для любых
элементов a, b, из К уравнение b + x = a имеет
единственное решение a + (-b), которое обозначается
также через a – b. Пусть К = ‹К, +, -, ◦, 1› и К` = ‹К`, +, -, ·, 1`› - кольца.
Говорят, что отображение h множества К
в К` сохраняет главные операции кольца К, если выполнены условия: Опред. Гомоморфизмом
кольца К в (на) кольцо К` называется отображение
множества К в (на) К`, сохраняющее все главные
операции кольца К. Гомоморфизм кольца К на К` называется эпиморфизмом. Опред. Гомоморфизм h кольца К на кольцо К` называется изоморфизмом,
если h является инъективным отображением
множества K на К`. Кольца К и К` называются изоморфными,
если существуют изоморфизм кольца К на кольцо К`. Понятие кольца, простейшие свойства колец.
Алгебра (K
, +, ∙) называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы: 1. (K
, +) – коммутативная группа; 2. 3. a
(bc
) = (ab
)
c
. Если операция умножения в кольце коммутативная, то кольцо называется коммутативным. Пример.
Алгебры (Z, +, ∙), (Q
, +, ∙), (R
, + ,∙) являются кольцами. Кольцо обладает следующими свойствами: имеет место 1) a
+ b
= a
=> b
= 0; 2) a
+ b
= 0 => b
= - a
; 3) – (- a
) = a
; 4) 0∙a
= a
∙0 = 0 (0 – ноль кольца); 5) (-a
)∙b
= a
∙(-b
) = -a
∙b
; 6) (a
– b
)∙c
= a
∙c
– b
∙c
, где a
– b
= a
+ (-b)
. Докажем свойство 6. (a – b
)∙c
= (a +
(-b
))∙c
= a
∙c
+ (-b
)∙c
= a
∙c
+(-b
∙c
)= =a
∙c – b
∙c
. Пусть (K
A
K
называется подкольцом кольца (K
,+,∙), если оно является кольцом относительно операций в кольце (K
, +, ∙). Теорема.
Пусть (K
, +, ∙) – кольцо. Непустое подмножество A
K
,
является подкольцом кольца К
тогда и только тогда, когда Пример.
Кольцо (Q, +, ∙) является подкольцом кольца (А
, +, ∙), где A
= ={a
+
b
| a
,
b
Q}. Понятие поля. Простейшие свойства полей
.
Определение.
Коммутативное кольцо (Р
, +, ∙) с единицей, где ноль кольца не совпадает с единицей кольца, называется полем, если Все свойства колец справедливы для полей. Для поля (Р
,+,∙) справедливы также следующие свойства: 1) 2) ab = e
|=> a
≠0 b =
а
-1 ; 3) 4) ab
= 0 5) ad = bc
(b
≠0, d
≠0); 6) . Пример.
Алгебры (Q, +, ∙), (А
, +, ∙), где А
= {a
+b
| a
,
b
Q}, (R
, +, ∙) – поля. Пусть (Р
,+,∙) – поле. Непустое подмножество F
P
, являющееся полем относительно операции в поле (Р
,+,∙) называется подполем поля Р
. Пример.
Поле (Q,+,∙) является подполем поля действительных чисел (R,+,∙). Задачи для самостоятельного решения
1. Покажите, что множество относительно операции умножения есть абелева группа. 2.
На множестве Q\{0}определена операция а
b
= 3. На множестве Z задана бинарная алгебраическая операция, определенная по правилу, а
b
= а+
b
–
2. Выясните, является ли алгебра (Z,) группой. 4. На множестве А
= {(a
,
b
) 5. Пусть Т
– множество всех отображений 6. Пусть А
={1,2,…,n
}. Взаимнооднозначное отображение f
: 7.
Выясните, образует ли кольцо относительно сложения, умножения: a
) N
; b
) множество всех нечетных целых чисел; c)множество всех четных целых чисел; d
) множество чисел вида 8. Является ли кольцом множество К
={а
+b
9. Покажите, что множество А
={a
+b
} относительно операций сложения и умножения есть кольцо. 10. На множестве Z
определены две операции: a
b
=a
+b
+1, ab
=
ab
+
a
+
b
. Доказать, что алгебра 11. На множестве классов вычетов по модулю m
заданы две бинарные операции:Доказать, что алгебра 12 . Опишите все подкольца кольца 13. Выясните, какие из следующих множеств действительных чисел являются полями относительно операций сложения и умножения: a
) рациональные числа с нечетными знаменателями; b
) числа вида c
) числа вида d
) числа вида §5. Поле комплексных чисел. Операции над комплексными
числами в алгебраической форме
Поле комплексных чисел
.
Пусть заданы две алгебры (А
,+,∙), (Ā
, , ◦). Отображение f
:
A
в(на)
>Ā
, удовлетворяющее условиям: Определение.
Гомоморфное отображение f
алгебры (А
, +, ∙) на алгебру (Ā
, , ◦) называется изоморфным отображением, если отображение f
множества А
на Ā
инъективно. С точки зрения алгебры изоморфные алгебры неразличимы, т.е. обладают одинаковыми свойствами. Над полем R
уравнение вида x
2
+1 = 0 не имеет решений. Построим поле, которое содержит подполе, изоморфное полю (R
,+,∙), и в котором уравнение вида x
2 +1 = 0 имеет решение. На множестве C = R
×
R
= {(a
,
b
) | a
,
b
R
} введем операции сложения и умножения следующим образом: (a
,
b
) (c
,
d
) = (a
+
c
, b
+
d
), (a
,
b
) ◦ (c
,
d
) = (ac
-bd
, ad
+bc
). Нетрудно доказать, что алгебра (C, ,◦) коммутативное кольцо с единицей. Пара (0,0) – ноль кольца, (1,0) – единица кольца. Покажем, что кольцо (С
, ,◦) – поле. Пусть (a
,
b
) C, (a
,
b
) ≠ (0,0) и (x
,y
) C такая пара чисел, что (a
,
b
)◦(x
,
y
) = (1,0). (a
,
b
)◦(x
,
y
) = (1,0) (ax
–
by
,
ay
+
bx
) = (1,0) (1) Из (1) => Построим отображение f
: R Покажем, что уравнение вида х
2 +1 = 0 в поле (C , , ◦) имеет решения. (х,у
) 2 + (1,0) = (0,0) (x
2
-
y
2
+1, 2xy
) = (0,0) (2) (0,1), (0, -1) – решения системы (2). Построенное поле (C , ,◦) называется полем комплексных чисел, а его элементы комплексными числами. Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в алгебраической форме.
Пусть (С, +, ∙) поле комплексных чисел, Сложение комплексных чисел: α
= а+
bί
, β
= с+
d
ί
, α +β =
(а,
b
) + (c
,
d
) = (a
+
c
,
b
+
d
) = a
+
c
+
(b
+
d
)ί.
Умножение комплексных чисел: α∙β =
(a
,
b
)(c
,
d
) = (a
∙
c
–
b
∙
d
, a
∙
d
+
b
∙
c
) = a
∙
c
-
b
∙
d
+
(a
∙
d
+
b
∙
c
)ί.
Чтобы найти произведение комплексных чисел а+
bί
и с+
d
ί
, нужно умножить а+
bί
на с+
d
ί
как двучлен на двучлен, учитывая, что ί
2 = -1. Частным от деления на β
, β
≠ 0 называется такое комплексное число γ, что = γ∙β
. = γ∙β
=> γ = ∙β
-1 . Так как Эту формулу можно получить, если числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю, т.е. на с –
dί
. Пример.
Найти сумму, произведение, частное комплексных чисел 2+ 3ί
, β
= 3 - 4ί
. Решение. + β
=(2 + 3ί
) + (3 – 4ί
) =5– ί,
∙β
= (2 + 3ί)
(3– 4ί
) = 6 –8ί
+ 9ί
– –12ί
2 = 18 + ί
. §6. Извлечение корня
n
-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме
Тригонометрическая форма комплексного числа.
На плоскости в прямоугольной системе координат комплексное число z
=
a
+
bί
будем изображать точкой А
(а,
b
) или радиусом вектором Изобразим комплексное число z
= 2 – 3ί
. Определение.
Число Угол, образованный между положительным направлением оси Ох
и радиусом вектором , изображающим комплексное число z
=
a
+
bί
, называется аргументом числа z
и обозначается Arg
z
. Argz
определен с точностью до слагаемое 2πk
, . Аргумент комплексного числа z
, удовлетворяющий условию 0≤ < 2π , называется главным значением аргумента комплексного числа z
и обозначается arg
z
. Из OAA 1 =>a
= Пусть z
1 = r
1 (cos φ
1 + ί
sin
φ
1), z
2 = r
2 (cos
φ
2 + ί
sin
φ
2). Тогда z
1∙ z
2 = =r
1∙ r
2 [(cosφ
1 ∙cosφ
2 – sin
φ
1∙ sin
φ
2)+i
]= r
1∙ r
2 [(cos
(φ
1+ φ
2) + i
sin (φ
1+ φ
2)] . Отсюда следует, что |z
1 z
2 | = |z
1 | |z
2 |, Arg
z
1 ∙z
2 = Arg
z
1 + Arg
z
2 . Arg Извлечение корня
n
– ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме.
Пусть z
C
, n
N
. n
– ой степенью комплексного числа z
называется произведение =
r
n
(cosnφ
+
ί
sinnφ
). При r
= 1 имеем z
n
=
cosnφ
+
ί
sinnφ
– формула Муавра. Формула Муавра имеет место Корнем n
z
называется такое комплексное число ω
, что ω
n
=
z
. Справедливо утверждение. Теорема.
Существует n
различных значений корня n
–ой степени из комплексного числа z
=
r
(cosφ
+
ί
sinφ
) . Все они получаются из формулы при k
= 0, 1, … , n
-1. В этой формуле Обозначим через, ω
0 , ω
1 ,…, ω
n
-1 – значения корня n
-ой степени из z
, которые получаются при k
= 0, 1, ... , n
-1. Так как |ω
0 | = |ω
1 | = |ω
2 |= … =|ω
n
-1 |, arg
ω
0 = , ω
1 = arg
ω
0 + Содержащее единицу, называется кольцом с единицей
. Обозначается единица, как правило, цифрой «1» (что отражает таковые свойства одноимённого числа) или иногда (например, в матричной алгебре), латинской буквой I
или E
. Разные определения алгебраических объектов могут как требовать наличие единицы, так и оставлять её необязательным элементом. Односторонний нейтральный элемент единицей не называется. Единица единственна по общему свойству двустороннего нейтрального элемента. Иногда единицами кольца называют его обратимые элементы , что может вносить путаницу.
Единица является единственным элементом кольца как идемпотентным, так и обратимым. Обратимым
называется всякий элемент u
кольца с единицей, являющийся двусторонним делителем единицы, то есть: с сохранением таких свойств как ассоциативность и коммутативность умножения. Элемент 1
будет являться единицей расширенной алгебры. Если в алгебре уже была единица, то после расширения она превратится в необратимый идемпотент. С кольцом такое тоже можно проделать, например потому, что всякое кольцо является ассоциативной алгеброй надКраткое описание
Прикрепленные файлы: 1 файл
a(b+c
) = ab+ac
(b+c
)a
= ba+ca
;
a
-
b
, a
∙b
.
a
≠0 существует ему обратный элемент а
-1 , а
∙ а
-1 = е
, е
– единица кольца.
a
≠0 уравнение ах =
b
имеет решение и притом единственное;
c
≠0 ac = bc
=> a=b
;
a
= 0 b
= 0;
;
. Докажите, что алгебра (Q\{0},) является группой.
} определена операция (а,
b
) (c
,
d
) = (ac
–
bd
, ad
+
bc
). Докажите, что алгебра (А,
) – группа.
заданных правилом
, где а,
b
Q, a
Докажите, что Т
является группой относительно композиции отображений.
называется подстановкой n
– ой степени. Подстановку n
– ой степени удобно записывать виде таблицы
, где Произведение двух подстановок
множества А
определяется как композиция отображений . По определению
Доказать, что множество всех подстановок n
– ой степени является группой относительно произведения подстановок.
где а,
b
} относительно операций сложения и умножения.
коммутативное кольцо с единицей.
.
c рациональными а,
b
;
с рациональными а
, b
;
с рациональными a
, b
, c
.
f
(a
+b
) =
f
(a
) f
(b
) f
(a
◦b
) = f
(a
) ◦ f
(b
), называется гомоморфизмом алгебры (А
, +, ∙) в(на) алгебру (Ā
, , ◦).
,
(a
,
b
) -1 =
. Следовательно (С, +, ∙) – поле. Рассмотрим множество R
0 = {(a
,0) | aR
}. Так как (a
,0) (b
,0) = (a
-
b
,0)R
0 , (a
,0)◦(b
,0) = (ab
,0)
R
0 ,
(a
,0) ≠ (0,0) (a
,0) -1 = (,0)
R
0 , то алгебра (R
0, ,◦) – поле.
R
0 , определенное условием f
(a
)=(a
,0) . Так как f
– биективное отображение и f
(a
+
b
)= (a
+
b
,0) = =(a
,0)(b
,0) = f
(a
)f
(b
), f
(a
∙b
) = (a
∙
b
,0) = (a
,0)◦(b
,0) =f
(a
)◦f
(b
), то f
– изоморфное отображение. Следовательно, (R
, +,∙)
(R
0, ,◦). (R
0, ,◦) – поле действительных чисел.
C,
=(a
,
b
). Так как (R
0 ,+, ∙) (R
, +, ∙), то любую пару (a
,0) отождествим с действительным числом a
. Обозначим через ί
= (0,1). Так как ί
2 = (0,1)∙(0,1) = (-1,0) = -1, то ί
называется мнимой единицей. Представим комплексное число
=(a
,b
) в виде: =(a
,b
)=(a
,0) +(b
,0) ◦(0,1)=a
+b
∙ί.
Представление комплексного числа в виде, = а
+ b
ί
называется алгебраической формой записи числа .
a
называется действительной частью комплексного числа и обозначается Re, b
– мнимая часть комплексного числа и обозначается Im.
, то =∙β
-1 = =(a
,
b
)∙
Таким образом
.
называется модулем комплексного числа z
=
a
+
bί
и обозначается | z
|.
cos, b
= sin
. Представление комплексного числа z
=
a
+
bί
в виде z
=
r
(cos+
ί
sin) называется тригонометрической формой записи числа z
(r
=). Чтобы записать комплексное число z
=
a
+
bί
в тригонометрической форме, необходимо знать |z
| и Arg
z
, которые определяются из формул
, cos =
sin =
Arg– Arg.
обозначается оно z
n
. Пусть m
=-
n
. По определению положим, что
z≠0, z 0 = 1, z
m
= . Если z
=r
(cosφ
+ ί
sinφ
) , то z
n
=
.
– арифметический корень.
, … , arg
ω
n
-1 = arg
ω
n
-
2 + , то комплексные числа ω
0 , ω
1 ,…, ω
n
-1 на плоскости изображаются точками круга с радиусом равным
и делят этот круг на n
равных частей.Единица, нуль и теория категорий
Обратимость