Как было отмечено ранее, статически неопределимыми называются брусья и системы, внутренние усилия или реакции опор в которых нельзя определить с помощью одних лишь уравнений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравнения –уравнения совместности деформаций или перемещений. Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости.

Важным этапом расчета статически неопределимых систем является составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений. Способ их составления поясним на следующем примере.

Рассмотрим стержень, защемленный обоими концами и нагруженный моментом М Х, действующим в плоскости, перпендикулярной продольной оси стержня (рис. 6.7).

В этом случае в заделках могут возникать только опорные моменты М А и М В относительно продольной оси, которые требуется определить. Направления неизвестных опорных реакций показываются произвольно.

Статическая сторона задачи для определения этих неизвестных дает только одно уравнение равновесия:

(6.20)

Получили одно уравнение с двумя неизвестными, значит степень статической неопределимости данной задачи равна единице. Для составления дополнительного уравнения рассмотрим геометрическую сторону задачи, т.е. составим условие совместности деформаций: полный угол закручивания сечения правого конца бруса (сечения В) по отношению к левому защемленному концу равен нулю, т.е.

Полный угол закручивания
равен сумме углов закручивания двух участков:

(6.21)

Физическая сторона задачи . Углы закручивания отдельных участковиопределим по формуле (6.11):

(6.22)

В этих формулах выражения для М t 1 иM t 2 записываем по методу сечений, рассматривая правую отсеченную часть:

M t1 = M B – M X ; M t2 = M B . (6.23)

Подставляя выражения (6.22) с учетом (6.23) в уравнение (6.21), получим:

Отсюда при
имеем:

В случае
и
получаем

(6.24)

ПРИМЕР 6.3

Брус, изображенный на рис. 6.8а, защемлен с двух концов:

Требуется:

– определить реакции опор и построить эпюры крутящих моментов;

– подобрать диаметр бруса сплошного круглого сечения;

– построить эпюру углов закручивания сечений.

А. Раскрытие статической неопределимости

и построение эпюры крутящих моментов

1. Статическая сторона задачи.

Здесь М А и М В – опорные реакции в заделках, действующие в плоскостях, перпендикулярных оси стержня. Их направление выбрано произвольно.

Получили одно уравнение, содержащее два неизвестных, т.е. рассматриваемая задача один раз статически неопределима.

2. Геометрическая сторона задачи.

Для получения дополнительного уравнения рассмотрим условие совместности деформаций отдельных участков.

Определим полный угол закручивания правого концевого сечения бруса по отношению к левому сечению. Он определяется как сумма углов закручивания трех участков и равен нулю.

3. Физическая сторона задачи.

Используем закон Гука при кручении для определения  i:

Системы, в которых количество наложенных связей больше, числа независимых уравн равновесия,называются стат неопред .По сравнению со стат определимыми системами, в ста неопрд. системах имеются дополнительные лишние связи.Термин “лишние связи” является условным. Эти связи являют­ся лишними с точки зрения расчетных предпосылок. В действи­тельности эти связи создают дополнитрезервы для конст­рукций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.На рис. 2.5, а изображен кронштейн, сост из 2 стерж­ней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертик усилие Р , а система яв­ляется плоской получается, что усилия в стержнях легко определ. из условий равновесия узла А , т.е.x = 0, y = 0. Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему лин уравнений относительно неизвестных усилий N 1 и N 2 в кото­рой количество уравнений равно количеству неизвестных:N 1  N 2 sin  = 0;N 2 cos   Р = 0.

Если конструкцию крон­штейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.5, б ), то усилия в стержнях N 1 , N 2 и N 3 прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия (2.16) имеются 3 неиз­вестных усилия в стержнях. Получсис­тема один раз ста неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) урав­нений равновесия, связывающих эти усилия, называется сте­пенью ст неопределрассматриваемой системы.В общем случае под n раз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число не­зависимых и значащих уравнений равновесия на n единиц. Решение статически неопределимых задач методом сил проводится в такой последовательности.1Устанавливае степень ст неопред системы как разность между числом искомых неизв усилий и числом независ уравн равновесия. Учитывается, что простой шарнир, соединяющ 2 стержня системы, уменьшает степень ст неопределим на 1, т к снимает одну связь, препятств повороту одной части системы относительно другой. Простой шарнир позволяет добавить к уравн. равн. всей системы уравнение равновесия присоединенной этим шарниром части системы.2. Из заданной ст неопр. сист выделяется основная система путем удаления лишних связей и внешней нагрузки.3. Изображается соответствующая выбранной основной эквивалентная система, в которой взамен снятых лишних связей и в их направлении приложены силы X i , если связи препятствовали линейному перемещению, и пары X k , если они исключали повороты сечений.4. Составляются канонические уравнения метода сил.5. Вычисляются коэффициенты канонических уравнений аналитически

Задачи кручения стержней являются статически неопределимыми, если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях стержня, не могут быть определены с помощью одних только уравнений равновесия. Для решения таких задач необходимо также рассматривать деформированное состояние скручиваемого стержня.

В качестве примера рассмотрим закрепленный на концах стержень круглого сечения, нагруженный скручивающим моментом М, приложенным на расстоянии а от левого конца (рис. 8.15, а).

Для определения двух опорных моментов М А и М в имеем лишь одно уравнение равновесия

Для составления уравнения деформаций отбросим мысленно правую опору (рис. 8.15, б). Найдем угол закручивания (p s сечения В образованного таким образом статически определимого стержня и приравняем его к нулю:

Из этого равенства получим

Из уравнения равновесия (8.29) найдем

При известных величинах М А и М в можно определить крутящий момент М и угол закручивания ср в произвольном сечении стержня.

Соответствующие эпюры М к и (р приведены на рис. 8.15, в, г.

Кручение стержней с некруглым поперечным сечением. Задача Сен-Венана

Как показывают эксперименты, при кручении стержней некруглого поперечного сечения гипотезы, принятые в § 8.2, оказываются несправедливыми. Основным отличием является то, что поперечные сечения в таких стержнях при кручении не остаются плоскими, а искривляются (рис. 8.16). Это явление называется депланацией. При этом в зависимости от условий закрепления стержня депланация по длине стержня может быть различна. Так, например, если один торец стержня закреплен (рис. 8.16), то депланация в заделке отсутствует, а на свободном торце она наибольшая. При этом, очевидно, некоторые продольные волокна стержня удлиняются, а другие - укорачиваются. Это возможно лишь за счет появления нормальных напряжений о г, которые на первый взгляд должны отсутствовать, поскольку внутренние усилия (N, М х, М у), являющиеся равнодействующими этих напряжений, при кручении равны нулю.

Кручение стержня, при котором депланация сечения по длине стержня изменяется, называется стесненным кручением.

В этом параграфе рассмотрим такое кручение, при котором депланация по длине стержня постоянна и ее можно характеризовать величиной перемещения w = w (х, у) в осевом направлении. Такое кручение стержня называется свободным кручением. Свободное кручение имеет место, например, когда стержень постоянного по всей длине сечения нагружен по торцам двумя скручивающими моментами (рис. 8.17).

Решение задачи свободного кручения стержней некруглого поперечного сечения получено Сен-Венаном. В основу решения положены следующие допущения.

1. Перемещения ниув плоскости Оху описываются теми же соотношениями, что и при кручении стержней круглого сечения (формулы (8.22)):

2. Величина депланации пропорциональна относительному углу закручивания ф", то есть

Здесь следует отметить, что если в рассматриваемой задаче (см. рис. 8.17) считать, что сечение z = 0 не поворачивается, то углы закручивания ф изменяются по длине стержня по линейному закону (рис. 8.11) и

Из соотношений Коши (5.8) с учетом (8.30) и (8.31) найдем деформации:

С помощью закона Гука (6.12) получим

а остальные напряжения равны нулю.

Из этих соотношений видно, что в стержне возникает напряженное состояние чистого сдвига. Подставив выражения для t xz и x yz в формулу (8.8), вычислим величину крутящего момента:

Входящий в это равенство интеграл

назовем моментом инерции сечения при кручении. В случае круглого сечения, когда депланация отсутствует (|/ = 0), эта величина совпадает с полярным моментом инерции

Подставляя (8.35) в (8.34), получим

Эта формула совпадает по форме с (8.8). Отличными в этих формулах являются только геометрические характеристики / и J.

Произведение GJ K называется жесткостью стержня при свободном кручении.

Таким образом, для решения задачи о свободном кручении стержней некруглого поперечного сечения необходимо найти функцию ц/(х, у). Тогда из (8.36) с учетом (8.35) можно определить относительный угол закручивания ф", а с помощью (8.33) и (8.32) - вычислить напряжения и деформации.

Подставив выражения для напряжений t xz и % yz из (8.33) в третье уравнение равновесия Навье (4.10) при отсутствии объемных сил, получим

Отсюда следует, что функция f(x, у) должна удовлетворять уравнению Лапласа

Рассмотрим теперь граничные условия:

На боковой поверхности стержня, которая свободна от внешних нагрузок и имеет нормаль v, перпендикулярную к оси Oz, имеем

С учетом этих равенств третье граничное условие (8.39), дает

Преобразуем это условие, рассмотрев бесконечно малый элемент АВС у границы поперечного сечения (рис. 8.18). Направление касательной t примем так, как показано на этом рисунке.

Подставляя эти значения в (8.40), получим

Таким образом, задача о кручении стержня с произвольным поперечным сечением сводится к решению дифференциального уравнения (8.38) с граничным условием (8.42).

Граничное условие (8.42) имеет сложный вид и не очень удобно для решения задач. Поэтому рассмотрим другой подход, приводящий к более простому граничному условию.

Уравнению (8.37) можно удовлетворить, приняв

где Ф = Ф (х, у) называется функцией напряжений.

Из равенств (8.33) и (8.43) получим

Исключим функцию |/. Для этого продифференцируем первое равенство по у, второе - по х и вычтем из первого равенства второе:

Таким образом, функция Ф удовлетворяет уравнению Пуассона

Граничное условие (8.40) с учетом (8.41) и (8.43) принимает вид

Отсюда следует, что на границе

В случае односвязных, то есть сплошных, сечений эту постоянную можно принять равной нулю. Тогда получим, что на границе

Таким образом, задача определения напряжений в скручиваемом стержне некруглого поперечного сечения сводится к отысканию функции Ф, которая удовлетворяет уравнению Пуассона (8.44) и граничному условию (8.46).

Выразим крутящий момент М к через функцию напряжений Ф. Подставив (8.43) в (8.34), получим

Дважды интегрируя это выражение по частям и используя граничное условие (8.46), можно получить следующее равенство:

Расчётная схема и эпюры

Решение

Обозначим продольную ось z, точки A и B, номера участков 1, 2, 3. Концы стержня защемлены, поэтому возникают реактивные моменты M A и M B , которые необходимо вычислить. Количество неизвестных опорных реакций равно двум, а уравнение статики для данной системы сил единственное:

M A – M 1 + M 2 – M B = 0. (1)

Поэтому данная система один раз статически неопределима. Кроме уравнения (1) требуется составить еще одно уравнение, содержащее те же неизвестные M A и M B . С этой целью поступим следующим образом. Отбросим правое защемление, но его влияние заменим моментом M B , пока неизвестным по величине и направлению. Таким образом, получим расчётную схему 2), эквивалентную исходной схеме 1). Теперь к стержню приложены три нагрузки: M 1 , M 2 , M B в виде моментов, в том числе и искомый – M B . Поскольку правый конец стержня защемлён, угол поворота этого сечения вокруг продольной оси стержня должен быть равным нулю, т.е. . Такой поворот в точке B является результатом действия трех силовых факторов: M 1 , M 2 , M B .

По принципу независимости действия сил угол поворота сечения B можно сначала подсчитать от каждого момента и результаты затем просуммировать. Поступая так, получим второе уравнение, дополняющее (1):

При составлении этого уравнения учтено, что момент M 1 закручивает лишь первый участок стержня, момент M 2 – участки 1 и 2, а момент M B – все три участка. Сократим левую часть уравнения (2) на и G и получим

Уравнения (1) и (3) образуют систему для определения M A и M B . Для её решения сначала необходимо определить моменты инерции J , J , J .

Первый участок стержня представляет собой полый цилиндр. Для его сечения

Второй участок стержня имеет прямоугольное поперечное сечение. Его момент инерции при кручении

J (5)

Здесь – табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение берётся из таблицы.

Формула (5) даёт результат

J . (6)

Сечение стержня второго участка – сплошное круглое. Поэтому

(7)

Значения крутящих моментов и найденные значения моментов инерции сечений подставляем в (3)

Сокращаем во всех слагаемых b 4 , проводим несложные арифметические подсчёты и получаем

После преобразований уравнение принимает вид

14,89 M B = 17,78.

Отсюда имеем

M B = 1,194кНм.

Из уравнения (1) находим реактивный момент в защемлении левого конца:

M A = M 1 – M 2 + M B = 6 – 7 + 1,194 = 0,194кНм.

Теперь можно приступить к построению эпюры крутящих моментов. В произвольном месте каждого участка стержня проведём сечения 1–1, 2–2, 3–3.

Возьмем левую отсечённую часть и покажем крутящий момент в сечении M . Хотя его направление можно выбирать произвольно, лучше избрать положительное направление, т.е. такое, чтобы при взгляде в торец отсечённой части он был виден направленным против хода часовой стрелки.

Весь стержень находится в равновесии. Значит, и любая отсечённая часть должна быть в равновесии. Следовательно, можно записать уравнение равновесия:

Отсюда имеем

Сечение 2–2

Сечение 3–3

кНм.

По итогам вычислений строим эпюру крутящих моментов. Размеры поперечного сечения стержня необходимо находить из условия прочности

(8)

Здесь i– номер участка. Левая часть неравенства есть наибольшее значение касательного напряжения по модулю для всего стержня. Правая часть – допускаемое напряжение для материала по касательным напряжениям. Установим их. Для каждого участка найдем максимальное касательное напряжение по общей формуле

Крутящие моменты уже найдены. Определим моменты сопротивления при кручении:

Ввторой формуле – табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение взято из таблицы.

Для каждого участка определяем локальные максимумы касательных напряжений:

(9)

(10)

(11)

Из сравнения результатов видим, что опасными являются сечения второго участка.

Допускаемое касательное напряжение

.

Статически неопределимые задачи на кручение

При кручении, так же как и при растяжении, встречаются задачи, решение которых не может быть получено с помощью одних только уравнений равновесия. Число неизвестных в таких задачах превышает число уравнений равновесия. Порядок решения таких задач тот же самый, что и при решении статически неопределимых задач на растяжение - сжатие.

брус стержень деформация кручение

Отсюда определяем TA и подставляем в для определения TB

Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля.

Значительно более жесткими и поэтому более целесообразными при кручении являются тонкостенные стержни замкнутого профиля.

Рассмотрим цилиндрический стержень, поперечное сечение которого имеет достаточно общую форму.

t - меняется достаточно медленно

Геометрическое место точек, равноотстоящих от внешнего и внутреннего контуров поперечного сечения, называются средней линией сечения.

Возникающие при кручении касательные напряжения постоянны по толщине и направлены по касательной к средней линии.

Произведение касательного напряжения на толщину есть величина, постоянная для всех точек средней линии сечения.

Спроецируем все силы на направление оси стержня.

На внешней поверхности нагрузки отсутствуют, и следовательно, по закону парности касательных напряжений.

2. Касательные напряжения во внешних углах обращаются в нуль.

Парные касательных напряжений, действующие на внешней поверхности должны быть равны нулю. Следовательно, и

Решение, полученное методами теории упругости, для бруса прямоугольного сечения имеет следующую эпюру

Стержни, работающие на кручение за пределами упругости

Конструкция потеряет несущую способность при кручении в том случае, когда сечения первого и второго участков будут полностью охвачены пластическими деформациями.

Т.е. Т1 = Т1u Т2 = Т2u

Из условий равновесия Тu = T1u + T2u

Для определения T1u и T2u рассмотрим конкретные формы поперечного сечения

Круглое сечение

Кольцевое сечение

Тонкостенное сечение ()

площадь, ограниченная средней линией контура

Квадратное сечение

См. песочная аналогия

где V - объём поверхности постоянного ската с углом 450

Примечание: При нескольких внешних моментах необходимо рассмотреть несколько кинематически возможных состояний.

Свяжем Т с касательными напряжениями.

Элементарный момент относительно точки О.

где интегрирование распространяется на всю длину контура s.

Определить наибольшее напряжение в трубчатом стержне, если Т=1500 Н.м

Мембранная аналогия при кручении

Задача о кручении бруса сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натянутой на контур того же очертания и нагруженной равномерно распределенным давлением.

Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с поверхностного контура.

Т - Аналогом крутящего момента является объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки.

Характер деформации пленки под действием давления можно представить хотя бы ориентировочно. Таким образом, всегда имеется возможность представить и закон распределения напряжений при кручении бруса с заданной формой сечения.

При помощи мембранной аналогии можно получить не только качественные, но и колличественнные соотношения. Для этого используется не сложный прибор, который замеряет прогибы с помощью микрометра. Использование гидростатического давления жидкости для нагружения мембраны позволяет определить крутящий момент по объему жидкости между мембраной и плоскостью. Для тарировки приборов такого типа могут быть использованы простейшие поперечные сечения, для некоторых известны аналитические решения.