Вписанная окружность. Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность. a b c o. Что и требовалось доказать

В данном уроке мы вспомним основы, на которых базируется теория вписанных и описанных окружностей, вспомним признаки четырехугольников описанных и вписанных. Кроме того, выведем формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружности в различных случаях.

Тема: Окружность

Урок: Вписанная и описанная окружности

Прежде всего, речь идет о вписанных и описанных окружностях относительно треугольника. Мы подготовлены к этой теме, так как изучили свойства биссектрис и серединных перпендикуляров треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность (см. Рис. 1).

Рис. 1

Доказательство:

Мы знаем, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке - пусть в точке О. Проведем биссектрисы АО, ВО, СО. Точка их пересечения О равноудалена от сторон треугольника. Она равноудалена от сторон угла - АС и АВ, так как принадлежит биссектрисе этого угла. Аналогично она равноудалена от сторон углов и , таким образом, от трех сторон треугольника.

Опустим перпендикуляры из точки О на стороны треугольника - ОМ на сторону АС, OL - на ВС, ОК - на АВ. Эти перпендикуляры и будут расстояниями от точки О до сторон треугольника, и они равны:

.

Обозначим расстояние от точки О до сторон треугольника за r и рассмотрим окружность с центром в точке О и радиусом r.

Окружность касается прямой АВ, т.к. имеет с ней общую точку К, и радиус ОК, проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой АВ. Аналогично окружность касается прямых АС и ВС. Таким образом, окружность касается всех тех сторон треугольника, значит, она вписана в треугольник.

Итак, три биссектрисы треугольника пересекаются в точке, являющейся центром вписанной окружности.

Рассмотрим еще одну теорему, она касается точки пересечения серединных перпендикуляров треугольника. Мы знаем, что они пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром описанной около треугольника окружности.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Итак, задан треугольник . Проведем серединный перпендикуляр р 1 к стороне треугольника ВС, р 2 - к стороне АВ, р 3 - к стороне АС (см. Рис. 2).

Согласно теореме о свойствах серединных перпендикуляров, точка, принадлежащая серединному перпендикуляру к отрезку, равноудалена от концов отрезка. Отсюда , т.к. точка Q принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку АС. Аналогично и . Таким образом, точка Q равноудалена от вершин треугольника. Отсюда QA, QB, QC - радиусы

Рис. 2

окружности, описанной около треугольника . Обозначим радиус за R. Точка О пересечения серединных перпендикуляров - центр описанной окружности.

Рассмотрим окружность, вписанную в некий четырехугольник, и свойства этого четырехугольника (см. Рис. 3).

Вспомним свойства точки, лежащей на биссектрисе угла.

Задан угол , его биссектриса - AL, точка М лежит на биссектрисе.

Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Рис. 3

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы и равны, так как AL - биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Кроме того, катеты . Таким образом, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Итак, вернемся к четырехугольнику. Первым действием нужно провести в нем биссектрисы.

Все биссектрисы четырехугольника пересекаются в одной точке - точке О, центре вписанной окружности.

Из точки О опускаем перпендикуляры к сторонам четырехугольника в точки K, L, M, N и определяем точки касания (см. Рис. 3).

Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны между собой, таким образом, из каждой вершины выходит пара равных касательных: , , , .

Рис. 3

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Это легко доказать:

Раскроем скобки:

Таким образом, мы доказали простую, но важную теорему.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Справедлива обратная теорема.

Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Рассмотрим окружность, описанную около четырехугольника.

Заданы окружность с центром О и произвольный четырехугольник ABCD. Рассмотрим свойства этого четырехугольника. Все четыре серединных перпендикуляра данного четырехугольника пересекаются в одной точке: эта точка - центр описанной окружности.

Доказать, что все четыре серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, было бы утомительно. Есть другой признак. Рассмотрим угол ےА, это вписанный угол окружности, он опирается на дугу и измеряется половиной градусной меры данной дуги (см. Рис. 4). Обозначим угол ےА за , тогда дуга . Аналогично обозначим противоположный угол ےС за , он вписан в окружность и опирается на дугу . Отсюда дуга .

Рис. 4

Дуги и составляют полную окружность. Отсюда:

,

Поделим полученное выражение на два, получаем:

Итак, мы доказали прямую теорему.

Теорема

Если около четырехугольника описана окружность, сумма его противоположных углов составляет .

Это есть необходимый и достаточный признак, то есть справедлива обратная теорема.

Если сумма противоположных углов четырехугольника составляет , около этого четырехугольника можно описать окружность.

На основании данных теорем отметим, что вокруг параллелограмма нельзя описать окружность, так как его противоположные углы равны, и их сумма не равна (см. Рис. 5).

Рис. 5

Около параллелограмма можно было бы описать окружность, если бы его противоположные углы были равны по 90°, то есть если бы он был прямоугольником, таким образом, около прямоугольника можно описать окружность (см. Рис. 6).

Рис. 6

Около ромба также нельзя описать окружность, но можно вписать, так как все стороны ромба равны, и таким образом, суммы противоположных сторон ромба равны.

Кроме того, у ромба каждая диагональ является биссектрисой, точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон ромба (см. Рис. 7).

Рис. 7

Итак, мы доказали, что в любой треугольник можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника. Мы также доказали, что около любого треугольника можно описать окружность, и ее центр совпадет с точкой пересечения серединных перпендикуляров. Кроме того, мы увидели, что в некоторые четырехугольники можно вписать окружность, и для этого нужно, чтобы суммы противоположных сторон четырехугольника были равны. Мы также показали, что около некоторых четырехугольников можно описать окружность, и необходимым и достаточным условием для этого является равенство суммы противоположных углов .

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. - М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
  1. Uztest.ru ().
  2. Mschool.kubsu.ru ().
  3. Ege-study.ru ().

Домашнее задание



ТЕОРЕМА ОБ ОКРУЖНОСТИ, ОПИСАННОЙ ОКОЛО МНОГОУГОЛЬНИКА: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. ТЕОРЕМА ОБ ОРУЖНОСТИ, ВПИСАННОЙ В ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.


SPa4a4 rRN Вычисление площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности и радиуса вписанной окружности




Площади правильных многоугольников Площади правильных многоугольников НАЗВАНИЯ И ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ Число сторон Название многоугольникаПлощадь правильного многоугольника 3Треугольник0,433a 2 4Четырехугольник1,000a 2 5Пятиугольник1,720a 2 6Шестиугольник2,598a 2 7Семиугольник3,634a 2 8Восьмиугольник4,828a 2 9Девятиугольник6,182a 2 10Десятиугольник7,694a 2 nn-угольник
















0 вписанных углах. Гиппократ Хиосский Изложенное в современных учебниках доказательство того, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, дано в «Началах» Евклида. На это предложение ссылается, однако, еще Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) в своем труде о «луночках». Труды Гиппократа свидетельствуют о том, что уже во второй половине V в. до н. э. было известно большое число теорем, изложенных в «Началах» Евклида, и геометрия достигла высокого развития. Тот факт, что опирающийся на диаметр вписанный уголпрямой, был известен вавилонянам еще 4000 лет назад. Первое его доказательство приписывается Памфилией, римской писательницей времен Нерона, Фалесу Милетскому.


0 правильных многоугольниках В египетских и вавилонских старинных памятниках встречаются правильные четырехугольники, шестиугольники и восьмиугольники в виде изображений на стенах и украшений, высеченных из камня. Древнегреческие ученые стали проявлять большой интерес к правильным фигурам еще со времен Пифагора. Деление окружности на некоторое число равных частей для построения правильных многоугольников имело важное значение для пифагорейцев, которые утверждали, что числа лежат в основе всех явлений мира. Учение о правильных многоугольниках, начатое в школе Пифагора, продолженное и развитое в VIV вв. до н. э., было систематизировано Евклидом и изложено в IV книге «Начал». Кроме построения правильного треугольника, четырехугольника, пятиугольника и шестиугольника, Евклид решает и задачу построения правильного пятнадцатиугольника при помощи только циркуля и линейки. Эта фигура привлекала внимание древних, так как было замечено, что дуга угла наклонения эклиптики к экватору представляет собой всей окружности, т. е. стягивается стороной правильного пятнадцатиугольника.













A B C O1 O2 O1 – центр описанной окружности, О2 – центр вписанной окружности Необходимость: Достаточность: D AB + CD = BC + AD и, значит, AB = CD = BAD = ADC, но BAD + АВС = 180 Отсюда ADC + АВС = 180, и вокруг трапеции ABCD можно описать окружность Кроме того, AB + CD = BC + AD и, следовательно, в ABCD можно вписать окружность. Необходимо и достаточно, чтобы трапеция была равносторонней и боковая сторона равнялась полусумме оснований.

Определение 2

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

Рисунок 1. Вписанная окружность

Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

Теорема 1

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK.\ $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M\ и\ L$. Так как $OM,OK\ и\ OL$ - перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

    Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

    В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

    Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Определение 3

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

Определение 4

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

Рисунок 3. Описанная окружность

Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

Теорема 2

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O"$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

    Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

    В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна ${180}^0$.

    Если сумма противоположных углов четырехугольника равна ${180}^0$, то около него можно описать окружность.

Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

Пример 1

В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

Рисунок 5.

Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора ${BM}^2={BC}^2-{MC}^2,\ BM=\sqrt{{BC}^2-\frac{{AC}^2}{4}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$. $OM=OH=r$ -- искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4\ см$. Следовательно, $BH=5-4=1\ см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:

\[{(3-r)}^2=r^2+1\] \ \ \

Ответ: $\frac{4}{3}$.

И касается всех его сторон.

Энциклопедичный YouTube

  • 1 / 5

    Свойства вписанной окружности:

    r = (− a + b + c) (a − b + c) (a + b − c) 4 (a + b + c) ; {\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};} 1 r = 1 h a + 1 h b + 1 h c {\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}

    где a , b , c {\displaystyle a,b,c} - стороны треугольника, h a , h b , h c {\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}} - высоты, проведённые к соответствующим сторонам ;

    r = S p = (p − a) (p − b) (p − c) p {\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}

    Где S {\displaystyle S} - площадь треугольника, а p {\displaystyle p} - его полупериметр.

    • Если A B {\displaystyle AB} - основание равнобедренного треугольника , то окружность, касающаяся сторон угла ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} в точках A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , проходит через центр вписанной окружности треугольника △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} .
    • Теорема Эйлера : R 2 − 2 R r = | O I | 2 {\displaystyle R^{2}-2Rr=|OI|^{2}} , где R {\displaystyle R} - радиус описанной вокруг треугольника окружности, r {\displaystyle r} - радиус вписанной в него окружности, O {\displaystyle O} - центр описанной окружности, I {\displaystyle I} - центр вписанной окружности .
    • Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A 1 и B 1 , то A 1 B 1 = A 1 B + A B 1 {\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}} .
    • Если точки касания вписанной в треугольник T {\displaystyle T} окружности соединить отрезками, то получится треугольник T 1 со свойствами:
      • Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T 1
      • Пусть T 2 - ортотреугольник T 1 . Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
      • Пусть T 3 - серединный треугольник T 1 . Тогда биссектрисы T являются высотами T 3 .
      • Пусть T 4 - ортотреугольник T 3 , тогда биссектрисы T являются биссектрисами T 4 .
    • Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен a + b − c 2 {\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}} .
    • Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d = a + b − c 2 = p − c {\displaystyle d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c} .
    • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно l c = r sin ⁡ (γ 2) {\displaystyle l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}} , где r - радиус вписанной окружности, а γ - угол вершины C.
    • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам l c = (p − c) 2 + r 2 {\displaystyle l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}} и l c = a b − 4 R r {\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}}
    • Теорема о трезубце или теорема трилистника : Если D - точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC , I и J - соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC , тогда | D I | = | D B | = | D C | = | D J | {\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|} .
    • Лемма Веррьера : пусть окружность V {\displaystyle V} касается сторон A B {\displaystyle AB} , A C {\displaystyle AC} и дуги B C {\displaystyle BC} описанной окружности треугольника . Тогда точки касания окружности V {\displaystyle V} со сторонами и центр вписанной окружности треугольника A B C {\displaystyle ABC} лежат на одной прямой.
    • Теорема Фейербаха . Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей , а также вписанной окружности . Точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха .

    Связь вписанной окружности с описанной окружностью

    R R = 4 S 2 p a b c = cos ⁡ α + cos ⁡ β + cos ⁡ γ − 1 ; {\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}

Похожие статьи