Составить квадрат 7х7 из. Четные магические квадраты. Квадраты с дополнительными свойствами
МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
Родиной магических квадратов считают Китай. В Китае существует учение Фэн-шуй, согласно которому цвет, форма и физическое расположение каждого элемента в пространстве влияет на поток Ци, замедляя его, перенаправляя его или ускоряя его, что напрямую влияет на уровень энергии жителей. Для познания тайн мира боги послали императору Ю (Yu) древнейший символ, квадрат Ло Шу (Ло – река).
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ЛО ШУ
Легенда гласит, что около четырех тысяч лет назад из бурных вод реки Ло вышла большая черепаха Шу. Люди, приносящие жертвы реке, увидели черепаху и сразу признали ее божеством. Соображения древних мудрецов показались императору Ю настолько резонными, что он приказал увековечить изображение черепахи на бумаге и скрепил его своей императорской печатью. А иначе как бы мы об этом событии узнали?
Эта черепаха на самом деле была особенной, потому что на ее панцире был нанесен странный узор из точек. Точки были нанесены упорядоченно, это привело древних философов к мысли о том, что квадрат с числами на панцире черепахи служит моделью пространства – картой мира, составленной мифическим основателем китайской цивилизации Хуан-ди. В самом деле, сумма чисел по столбцам, строкам, обеим диагоналям квадрата одинакова M=15 и равна числу дней в каждом из 24-х циклов китайского солнечного года.
Четные и нечетные номера чередуются: причем 4 четных числа (пишутся снизу вверх по убыванию) находятся в четырех углах, а 5 нечетных чисел (пишутся снизу вверх по возрастанию) образуют крест в центре площади. Пять элементов креста отражают землю, огонь, металл, воду и лес. Сумма любых разделенных центром двух чисел равна числу Хо Ти, т.е. десяти.
Четные числа (символы Земли) Ло Шу были нанесены на теле черепахи в виде черных точек, или Инь символов, а нечетные числа (символы Неба) – в виде белых точек, или Ян символов. Земля 1 (или вода) находится снизу, огонь 9 (или небо) – сверху. Не исключено, что современное изображение цифры 5, размещенной в центре композиции, обязано китайскому символу двуединственности Ян и Инь.
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ИЗ КХАДЖУРАХО
Восточная комната
Магия Джозефа Редьярда Киплинга, создавшего образы Маугли, Багиры, Балу, Шер-Хана и, конечно, Табаки, началась накануне двадцатого века. За полстолетия до этого, в феврале 1838, года молодой британский офицер бенгальских инженерных войск Т.С. Берт, заинтересованный разговором слуг, несших его паланкин, отклонился от маршрута и наткнулся на древние храмы в джунглях Индии.
На ступенях храма Вишванатха офицер нашел надпись, свидетельствующую о древности сооружений. Спустя короткое время энергичный генерал-майор А. Каннингем начертил подробные планы Кхаджурахо. Были начаты раскопки, увенчавшиеся сенсационным открытием 22 храмов. Возвели храмы махараджи их династии Чанделов. После распада их царства джунгли поглотили постройки на тысячу лет. Найденный среди изображений обнаженных богов и богинь квадрат четвертого порядка поражал воображение.
Мало того, что у этого квадрата суммы по строкам, столбцам и диагоналям совпадали и равнялись 34. Они совпадали также по ломанным диагоналям, образующимся при сворачивании квадрата в тор, причем в обоих направлениях. За подобное колдовство цифр такие квадраты называют «дьявольскими» (или «пандиагональными», или «насик»).
Безусловно, это свидетельствовало о необычных математических способностях их создателей, превосходящих колонизаторов. Что неизбежно почувствовали люди в белых пробковых шлемах.
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА
Знаменитый немецкий художник начала XVI века Альбрехт Дюрер составил первый в европейском искусстве магический квадрат 4х4. Сумма чисел в любой строке, столбце, диагонали, а также, что удивительно, в каждой четверти (даже в центральном квадрате) и даже сумма угловых чисел равна 34. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514). В средних квадратах первого столбика внесены исправления – цифры деформированы.
В картине с оккультной крылатой мышью Сатурном магический квадрат сложен крылатым разумом Юпитером, которые друг другу противостоят. Квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в него чисел, расположенных симметрично относительно его центра, равна 17. Если сложить четыре числа, полученные ходом шахматного коня – будет 34. Воистину этот квадрат своей безупречной упорядоченностью отражает меланхолию, охватившую художника.
Утренний сон.
Европейцев с удивительными числовыми квадратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была специальным сочинением на эту тему и содержала примеры магических квадратов автора.
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ
В середине XVI в. в Европе появились сочинения, в которых в качестве объектов математического исследования предстали магические квадраты. Затем последовало множество других работ, в частности таких известных математиков, основоположников современной науки, как Штифель, Баше, Паскаль, Ферма, Бесси, Эйлер, Гаусс.
Магический , или волшебный квадрат – это квадратная таблица, заполненная n 2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Определение условное, поскольку древние придавали также значение, например, цвету.
Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n 2 . Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков, за исключением n = 2 , хотя случай n = 1 тривиален – квадрат состоит из одного числа.
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой
M = n (n 2 + 1) /2
Первые значения магических констант приведены в таблице
Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным , если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n 2 + 1 .
Существует только один нормальный квадрат третьего порядка. Его знали многие народы. Расположение чисел в квадрате Ло Шу сходно с символическими обозначениями духов в каббале и знаками индейской астрологии.
Известен также как квадрат Сатурна. Некоторые тайные общества в Средние века видели в нем "каббалу девяти палат". Несомненно, оттенок запретного волшебства много значил для сбережения его изображений.
Он был важен в средневековой нумерологии, часто использовался как амулет или средство для гадания. Каждая ячейка его отвечает мистической букве или иному символу. Прочитанные вместе вдоль определенной линии, эти знаки передавали оккультные сообщения. Цифры, составляющие дату рождения, расставлялись в ячейках квадрата и затем расшифровывались в зависимости от значения и местоположения цифр.
Среди пандиагональных, как их именуют еще, дьявольских магических квадратов выделяют симметричные – идеальные. Дьявольский квадрат остается дьявольским, если производить его поворот, отражение, перестановку строки сверху вниз и наоборот, зачеркивание столбца справа или слева с приписыванием его с противоположной стороне. Всего выделяют пять преобразований, схема последнего приведена на рисунке
Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и симметрию относительно торических параллельных переносов, то остается только три существенно различных дьявольских квадрата 4×4:
Клод Ф. Брэгдон, известный американский архитектор, обнаружил, что, соединив одну за другой клетки только с четными или только с нечетными числами магических квадратов ломаной, мы в большинстве случаев получим изящный узор. Придуманный им узор для вентиляционной решетки в потолке Торговой палаты в Рочестере (штат Нью-Йорк), где он жил, построен из магической ломаной талисмана Ло-Шу. Брэгдон использовал «магические линии» как образцы рисунков для тканей, книжных обложек, архитектурных украшений и декоративных заставок.
Если из одинаковых дьявольских квадратов выложить мозаику (каждый квадрат должен вплотную примыкать к своим соседям), то получится нечто вроде паркета, в котором числа, стоящие в любой группе клеток 4х4, будут образовывать дьявольский квадрат. Числа в четырех клетках, следующих последовательно одна за другой, как бы они ни были расположены – по вертикали, по горизонтали или по диагонали, – в сумме всегда дают постоянную квадрата. Современные математики называют подобные квадраты «совершенными».
ЛАТИНСКИЙ КВАДРАТ
Латинский квадрат – разновидность неправильных математических квадратов, заполненная n различными символами таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречались все n символов (каждый по одному разу).
Латинские квадраты существуют для любого n. Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы. Название «латинский квадрат» берет начало от Леонарда Эйлера, который использовал латинские буквы вместо цифр в таблице.
Два латинских квадрата называются ортогональными , если различны все упорядоченные пары символов (a,b), где a – символ в некоторой клетке первого латинского квадрата, а b – символ в той же клетке второго латинского квадрата.
Ортогональные латинские квадраты существуют для любого порядка, кроме 2 и 6. Для n являющихся степенью простого числа есть набор n–1 попарно ортогональных латинских квадратов. Если в каждой диагонали латинского квадрата все элементы различны, такой латинский квадрат называется диагональным . Пары ортогональных диагональных латинских квадратов существуют для всех порядков, кроме 2, 3 и 6. Латинский квадрат часто встречается в задачах составления расписания, поскольку в строках и столбцах числа не повторяются.
Квадрат из пар элементов двух ортогональных латинских квадратов называется греко-латинский квадратом . Подобные квадраты часто используются для построения магических квадратов и в усложненных задачах о составлении расписания.
Занимаясь греко-латинскими квадратами Эйлер доказал, что квадратов второго порядка не существует, зато были найдены квадраты 3, 4, и 5 порядков. Ни одного квадрата 6 порядка он не нашел. Им была высказана гипотеза, что не существует квадратов четных порядков, не делящееся на 4 (то есть 6, 10, 14 и т. д.). В 1901 Гастон Терри перебором подтвердил гипотезу для 6 порядка. Но в 1959 году гипотеза была опровергнута Э. Т. Паркером, Р. К. Боусом и С. С. Шрикхердом, обнаружившими греко-латинский квадрат порядка 10.
ПОЛИМИНО АРТУРА КЛАРКА
Полимино – по сложности его, безусловно, относится к категории труднейших математических квадратов. Вот как о нем пишет писатель-фантаст А. Кларк – ниже размещен отрывок из книги "Земная Империя". Очевидно, что Кларк, проживая на своем острове, он жил на Цейлоне – и его философия отрыва от социума интересна сама по себе, увлекся развлечением, которому учит бабушка мальчика, и передал его нам. Предпочтем это живое описание имеющимся систематизациям, которые передают, возможно, суть, но не дух игры.
– Ты уже достаточно большой мальчик, Дункан, и сумеешь понять эту игру… впрочем, она куда больше, чем игра. Вопреки словам бабушки, игра не впечатлила Дункана. Ну что можно сделать из пяти белых пластмассовых квадратиков?
– Прежде всего,– продолжала бабушка,– тебе нужно проверить, сколько различных узоров ты сумеешь сложить из квадратиков.
– А они при этом должны лежать на столе? – спросил Дункан.
– Да, они должны лежать, соприкасаясь. Перекрывать один квадратик другим нельзя.
Дункан принялся раскладывать квадратики.
– Ну, я могу выложить их все в прямую линию,– начал он.– Вот так… А потом могу переложить две штуки и получить букву L… А если я возьмусь за другой край, то получится буква U…
Мальчик быстро составил полдюжины сочетаний, потом еще и вдруг обнаружил, что они повторяют уже имеющиеся.
– Может, я тупой, но это все.
Дункан упустил самую простую из фигур – крест, для создания которой достаточно было выложить четыре квадратика по сторонам пятого, центрального.
– Большинство людей начинают как раз с креста,– улыбнулась бабушка.– По-моему, ты поторопился объявить себя тупым. Лучше подумай: могут ли быть еще какие-нибудь фигуры?
Сосредоточенно двигая квадратики, Дункан нашел еще три фигуры, после чего прекратил поиски.
– Теперь уже точно все, – уверенно заявил он.
– А что ты скажешь про такую фигуру?
Слегка передвинув квадратики, бабушка сложила из них подобие горбатой буквы F.
– И вот еще одна.
Дункан чувствовал себя последним идиотом, и бабушкины слова легли бальзамом на его смущенную душу:
– Ты просто молодец. Подумаешь, упустил всего две фигуры. А общее число фигур равно двенадцати. Не больше и не меньше. Теперь ты знаешь их все. Ищи хоть целую вечность – больше не найдешь ни одной.
Бабушка смела в угол пять белых квадратиков и выложила на стол дюжину ярких разноцветных пластиковых кусочков. Это были те самые двенадцать фигур, но уже в готовом виде, и каждая состояла из пяти квадратиков. Дункан уже был готов согласиться, что никаких других фигур действительно не существует.
Но раз бабушка выложила эти разноцветные полоски, значит, игра продолжается, и Дункана ждал еще один сюрприз.
– А теперь, Дункан, слушай внимательно. Эти фигуры называются «пентамино». Название произошло от греческого слова «пента», что значит «пять». Все фигуры равны по площади, поскольку каждая состоит из пяти одинаковых квадратиков. Фигур двенадцать, квадратиков – пять, следовательно, общая площадь будет равняться шестидесяти квадратикам. Правильно?
– Мм…да.
– Слушай дальше. Шестьдесят – замечательное круглое число, которое можно составить несколькими способами. Самый легкий – умножить десять на шесть. Такую площадь имеет эта коробочка: по горизонтали в ней умещается десять квадратиков, а по вертикали – шесть. Стало быть, в ней должны уместиться все двенадцать фигур. Просто, как составная картинка-загадка.
Дункан ожидал подвоха. Бабушка обожала словесные и математические парадоксы, и далеко не все они были понятии ее десятилетней жертве. Но на сей раз обошлось без парадоксов. Дно коробки было расчерчено на шестьдесят квадратиков, значит… Стоп! Площадь площадью, но ведь фигуры имеют разные очертания. Попробуй-ка загони их в коробку!
– Оставляю тебе эту задачу для самостоятельного решения,– объявила бабушка, видя, как он уныло двигает пентамино по дну коробки.– Поверь мне, их можно собрать.
Вскоре Дункан начал крепко сомневаться в бабушкиных словах. Ему с легкостью удавалось уложить в коробку десять фигур, а один раз он ухитрился втиснуть и одиннадцатую. Но очертания незаполненного пространства не совпадали с очертаниями двенадцатой фигуры, которую мальчик вертел в руках. Там был крест, а оставшаяся фигура напоминала букву Z…
Еще через полчаса Дункан уже находился на грани отчаяния. Бабушка погрузилась в диалог со своим компьютером, но время от времени заинтересованно поглядывала на него, словно говоря: «Это не так легко, как ты думал».
В свои десять лет Дункан отличался заметным упрямством. Большинство его сверстников давным-давно оставили бы всякие попытки. (Только через несколько лет он понял, что бабушка изящно проводила с ним психологический тест.) Дункан продержался без посторонней помощи почти сорок минут…
Тогда бабушка встала от компьютера и склонилась над головоломкой. Ее пальцы передвинули фигуры U, X и L…
Дно коробки оказалось целиком заполненным! Все куски головоломки заняли нужные места.
– Конечно, ты заранее знала ответ! – обиженно протянул Дункан.
– Ответ? – переспросила бабушка.– А как ты думаешь, сколькими способами можно уложить пентамино в эту коробку?
Вот она, ловушка. Дункан провозился почти час, так и не найдя решения, хотя за это время он перепробовал не меньше сотни вариантов. Он думал, что существует всего один способ. А их может быть… двенадцать? Или больше?
– Так сколько, по-твоему, может быть способов? – снова спросила бабушка.
– Двадцать,– выпалил Дункан, думая, что уж теперь бабушка не будет возражать.
– Попробуй снова.
Дункан почуял опасность. Забава оказалась куда хитрее, чем он думал, и мальчик благоразумно решил не рисковать.
– Вообще-то, я не знаю,– сказал он, мотая головой.
– А ты восприимчивый мальчик,– снова улыбнулась бабушка.– Интуиция – опасный проводник, но порою другого у нас нет. Могу тебя обрадовать: угадать правильный ответ здесь невозможно. Существует более двух тысяч различных способов укладки пентамино в эту коробку. Точнее, две тысячи триста тридцать девять. И что ты на это скажешь?
Вряд ли бабушка его обманывала. Но Дункан был настолько раздавлен своей неспособностью найти решение, что не удержался и выпалил:
– Не верю!
Элен редко выказывала раздражение. Когда Дункан чем-то обижал ее, она просто становилась холодной и отрешенной. Однако сейчас бабушка лишь усмехнулась и что-то выстучала на клавиатуре компьютера.
– Взгляни сюда,– предложила она.
На экране появился набор из двенадцати разноцветных пентамино, заполняющих прямоугольник размером десять на шесть. Через несколько секунд его сменило другое изображение, где фигуры, скорее всего, располагались уже по-другому (точно сказать Дункан не мог, поскольку не запомнил первую комбинацию). Вскоре изображение опять поменялось, потом еще и еще… Так продолжалось, пока бабушка не остановила программу.
– Даже при большой скорости компьютеру понадобится пять часов, чтобы перебрать все способы,– пояснила бабушка.– Можешь поверить мне на слово: все они разные. Если бы не компьютеры, сомневаюсь, что люди нашли бы все способы обычным перебором вариантов.
Дункан долго глядел на двенадцать обманчиво простых фигур. Он медленно переваривал бабушкины слова. Это было первое в его жизни математическое откровение. То, что он так опрометчиво посчитал обыкновенной детской игрой, вдруг стало разворачивать перед ним бесконечные тропинки и горизонты, хотя даже самый одаренный десятилетний ребенок вряд ли сумел бы ощутить безграничность этой вселенной.
Но тогда восторг и благоговение Дункана были пассивными. Настоящий взрыв интеллектуального наслаждения случился позже, когда он самостоятельно отыскал свой первый способ укладки пентамино. Несколько недель Дункан везде таскал с собой пластмассовую коробочку. Все свободное время он тратил только на пентамино. Фигуры превратитесь в личных друзей Дункана. Он называл их по буквам, которые те напоминали, хотя в ряде случае сходство было более чем отдаленным. Пять фигур – F, I, L, Р, N шли вразнобой, зaто остальные семь повторяли последовательность латинского алфавита: Т, U, V, W, X, Y, Z.
Однажды, в состоянии не то геометрического транса, не то геометрического экстаза, который больше не повторялся, Дункан менее чем за час нашел пять вариантов укладки. Возможно, даже Ньютон, Эйнштейн или Чэнь-цзы в свои моменты истины не ощущали большего родства с богами математики, чем Дункан Макензи.
Вскоре он сообразил, причем сам, без бабушкиных подсказок, что пентамино можно уложить в прямоугольник с другими размерами сторон. Довольно легко Дункан нашел несколько вариантов для прямоугольников 5 на 12 и 4 на 15. Затем он целую неделю мучился, пытаясь загнать двенадцать фигур в более длинный и узкий прямоугольник 3 на 20. Снова и снова он начинал заполнять коварное пространство и… получат дыры в прямоугольнике и «лишние» фигуры.
Сокрушенный, Дункан наведался к бабушке, где его ждал новый сюрприз.
– Я рада твоим опытам,– сказала Элен.– Ты исследовал все возможности, пытаясь вывести общую закономерность. Так всегда поступают математики. Но ты ошибаешься: решения для прямоугольника три на двадцать все-таки существуют. Их всего два, и если ты найдешь одно, то сумеешь отыскать и второе.
Окрыленный бабушкиной похвалой, Дункан с новыми силами продолжил «охоту на пентамино». Еще через неделю он начал понимать, какой непосильный груз взвалил на свои плечи. Количество способов, которым можно расположить двенадцать фигур, просто ошеломляло Дункана. Более того, ведь каждая фигура имела четыре положения!
И вновь он явился к бабушке, выложив ей все свои затруднения. Если для прямоугольника 3 на 20 существовало только два варианта, сколько же времени понадобится, чтобы их найти?
– Изволь, я тебе отвечу,– сказала бабушка.– Если бы ты действовал как безмозглый компьютер, занимаясь простым перебором комбинаций и тратя на каждую по одной секунде, тебе понадобилось бы…– Здесь она намеренно сделала паузу.– Тебе понадобилось бы более шести миллионов… да, более шести миллионов лет.
Земных или титанских? Этот вопрос мгновенно возник в мозгу Дункана. Впрочем, какая разница?
– Но ты отличаешься от безмозглого компьютера,– продолжала бабушка.– Ты сразу видишь заведомо непригодные комбинации, и потому тебе не надо тратить время на их проверку. Попробуй еще раз.
Дункан повиновался, уже без энтузиазма и веры в успех. А потом ему в голову пришла блестящая идея.
Карл сразу же заинтересовался пентамино и принял вызов. Он взял у Дункана коробочку с фигурами и исчез на несколько часов.
Когда Карл позвонил ему, вид у друга был несколько расстроенный.
– А ты уверен, что эта задача действительно имеет решение? – спросил он.
– Абсолютно уверен. Их целых два. Неужели ты так и не нашел хотя бы одно? Я-то думал, ты здорово соображаешь в математике.
– Представь себе, соображаю, потому и знаю, каких трудов стоит твоя задачка. Нужно проверить… миллион миллиардов возможных комбинаций.
– А откуда ты узнал, что их столько? – спросил Дункан, довольный тем, что хоть чем-то сумел заставить друга растерянно чесать в затылке.
Карл скосил глаза на лист бумаги, заполненный какими-то схемами и цифрами.
– Если исключить недопустимые комбинации и учесть симметрию и возможность поворота… получается факториал… суммарное число перестановок… ты все равно не поймешь. Я тебе лучше покажу само число.
Он поднес к камере другой лист, на котором была крупно изображена внушительная вереница цифр:
1 004 539 160 000 000.
Дункан ничего не смыслил в факториалах, однако в точности подсчетов Карла не сомневался. Длиннющее число ему очень понравилось.
– Так ты собрался бросить эту задачу? – осторожно спросил Дункан.
– Еще чего! Я просто хотел тебе показать, насколько она трудна.
Лицо Карла выражало мрачную решимость. Произнеся эти слова, он отключился.
На следующий день Дункана ожидало одно из величайших потрясений в его мальчишеской жизни. С экрана на него смотрело осунувшееся, с воспаленными глазами, лицо Карла. Чувствовалось, он провел бессонную ночь.
– Ну вот и все,– усталым, но торжествующим голосом возвестил он.
Дункан едва верил своим глазам. Ему казалось, что шансы на успех ничтожно малы. Он даже убедил себя в этом. И вдруг… Перед ним лежал прямоугольник три на двадцать, заполненный всеми двенадцатью фигурами пентамино.
Потом Карл поменял местами и перевернул фигуры на концах, оставив центральную часть нетронутой. От усталости у него слегка дрожали пальцы.
– Это второе решение,– пояснил он.– А теперь я отправляюсь спать. Так что спокойной ночи или доброго утра – это уж как тебе угодно.
Посрамленный Дункан еще долго глядел в погасший экран. Он не знал, какими путями двигался Карл, нащупывая решение головоломки. Но он знал, что его друг вышел победителем. Наперекор всему.
Он не завидовал победе друга. Дункан слишком любил Карла и всегда радовался его успехам, хотя нередко сам оказывался побежденной стороной. Но в сегодняшнем триумфе друга было что-то иное, что-то почти магическое.
Дункан впервые увидел, какой силой обладает интуиция. Он столкнулся с загадочной способностью разума вырываться за пределы фактов и отбрасывать в сторону мешающую логику. За считаные часы Карл выполнил колоссальную работу, превзойдя самый быстродействующий компьютер.
Впоследствии Дункан узнал, что подобными способностями обладают все люди, но используют они их крайне редко – возможно, один раз в жизни. У Карла этот дар получил исключительное развитие… С того момента Дункан стал серьезно относиться к рассуждениям друга, даже самым нелепым и возмутительным с точки зрения здравого смысла.
Это было двадцать лет назад. Дункан не помнил, куда делись пластмассовые фигуры пентамино. Возможно, так и остались у Карла.
Бабушкин подарок стал их новым воплощением, теперь уже в виде кусочков разноцветного камня. Удивительный, нежно-розового оттенка гранит был с холмов Галилея, обсидиан – с плато Гюйгенса, а псевдомрамор – с гряды Гершеля. И среди них… сначала Дункан подумал, что ошибся. Нет, так оно и есть: то был самый редкий и загадочный минерал Титана. Крест каменного пентамино бабушка сделала из титанита. Этот иссиня-черный, с золотистыми вкраплениями минерал не спутаешь ни с чем. Таких крупных кусков Дункан еще не видел и мог только догадываться, какова его стоимость.
– Не знаю, что и сказать,– пробормотал он.– Какая красота. Такое я вижу в первый раз.
Он обнял худенькие бабушкины плечи и вдруг почувствовал, что они дрожат и ей никак не унять эту дрожь. Дункан бережно держал ее в своих объятиях, пока плечи не перестали дрожать. В такие мгновения слова не нужны. Отчетливее, чем прежде, Дункан понимал: он последняя любовь в опустошенной жизни Элен Макензи. И теперь он улетает, оставляя ее наедине с воспоминаниями.
БОЛЬШИЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
Китайский математик XIII века Ян Хуэй был знаком с треугольником Паскаля (арифметическим треугольником). Он оставил изложение методов решения уравнений 4-й и высших степеней, встречаются правила решения полного квадратного уравнения, суммирования прогрессий, приемы построения магических квадратов. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37).
Бенджамин Франклин составил квадрат 16×16, который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4×4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056.
Самым ценным в этом квадрате является то, что его довольно просто превратить в идеальный магический квадрат, в то время как построение идеальных магических квадратов – нелегкая задача. Франклин называл этот квадрат "самым очаровательным волшебством из всех магических квадратов, когда-либо сотворенных чародеями".
Как решать магические квадраты?
Магическим квадратом принято называть головоломку наподобие судоку. Это квадрат, клетки которого заполнены числами так, чтобы сумма в конце любой строки, столбца и диагонали была одинаковой. В магических квадратах-головоломках некоторые числа пропущены, и требуется их расставить так, чтобы соблюсти описанное выше условие равной суммы. Как же решать магические квадраты?
Способы решения магических квадратов
Для того чтобы решение магических квадратов было верным, необходимо знать ту самую волшебную сумму, которая должна получаться при сложении чисел в строках, столбцах и диагоналях. После этого расставить недостающие числа становится существенно проще. Как же эту сумму найти?
Способ 1
Наипростейший вариант магического квадрата - когда одна из строк, один из столбцов или одна из диагоналей полностью заполнена числами. В таком случае остается только подсчитать сумму этих чисел и подбирать решения.
Способ 2
Сумму чисел на концах строк, столбцов и диагоналей можно высчитать по специальным формулам. При этом формула для квадратов с четным количеством ячеек в одной строке будет отличаться от квадратов с нечетным количеством ячеек.
Итак, для четных квадратов подходит формула:
- n + ((n+1) * n * (n-1) / 2) , где n - количество ячеек в одной строке.
Для нечетных квадратов подходит формула:
- n * (n 2 +1) / 2 , где n - также количество ячеек в одной строке.
Пример решения
Рассмотрим решения магического квадрата из девяти ячеек с числами от 1 до 9. Сначала подсчитаем сумму, которая должна получаться на концах. В одной строке у нас 3 ячейки, то есть n = 3. Подставляем значение в формулу:
- 3 * (3 2 +1) / 2 = 3 * 10 / 2 = 15
Теперь подбираем числа так, чтобы сумма равнялась 15.
Далее алгоритм потребует немного пространственного воображения. Поставьте число 1 в середину верхней строки. Каждое следующее число мы ставим справа по диагонали вверх. Пробуем ставить 2. Но там нет ячеек, если мы подставим над нашим квадратом еще один такой же воображаемый, то число 2 окажется в правом нижнем углу этого 
нового квадрата. Переносим ее в наш квадрат и ставим в правом нижнем углу. Число 3 также ставим справа по диагонали вверх - и там опять нет ячейки, при помощи воображаемого квадрата узнаем, что его место в середине левого столбца. Число 4 ставим по такому же принципу, но эта ячейка занята единицей - в этом случае ставим ее прямо под цифрой 3. Число 5 по диагонали вверх и вправо от 4 оказывается в самом центре, а число 6 в верхнем правом углу. Число 7 при помощи воображения должно было оказаться в левом нижнем углу. Но там уже стоит 4, поэтому ставим ее прямо под числом 6. Число 8 оказывается при помощи воображаемого квадрата в левом верхнем углу, а число 9 в оставшейся ячейке в середине правого столбца. Общий алгоритм таков: ставим следующее число справа вверху по диагонали, если нет места - применяем воображаемый квадрат, а если ячейка занята, то ставим число прямо под предыдущим.
Данная загадка быстро разлетелась по всему Интернету. Тысячи людей начали задаваться вопросом о том, как работает магический квадрат. Сегодня вы, наконец-то, найдете ответ!
Тайна магического квадрата
На самом деле данная загадка довольно проста и сделана с расчётом на человеческую невнимательность. Давайте разберемся, как работает магический черный квадрат, на реальном примере:
- Давайте загадаем любое число от 10 до 19. Теперь давайте вычтем из данного числа его составляющие цифры. К примеру, возьмем 11. Отнимем от 11 единицу и после – еще одну единицу. Выйдет 9. На самом деле не важно, какое число от 10 до 19 вы возьмете. Результат вычислений всегда будет 9. Числу 9 в «Магическом Квадрате» соответствует первая цифра с рисунками. Если присмотреться, то можно увидеть, что очень большому количеству цифр присвоены одни и те же рисунки.
- Что же будет, если взять число в пределах от 20 и до 29? Может, вы уже сами догадались? Правильно! Результатом вычислений всегда будет 18. Цифра 18 соответствует второй позиции на диагонали с рисунками.
- Если же взять число от 30 до 39, то, как можно уже угадать, выйдет число 27. Число 27 также соответствует цифре на диагонали столь необъяснимого «Магического Квадрата».
- Подобный алгоритм остается правдивым для любых чисел от 40 до 49, от 50 до 59 и так далее.
То есть выходит, что неважно, какое число вы загадали - «Магический Квадрат» угадает результат, ведь в клетках под номерами 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 и 81 на самом деле находится один и тот же символ.
На самом деле данную загадку можно легко объяснить с помощью простого уравнения:
- Вообразите любое двухзначное число. В независимости от числа его можно представить в виде x*10+y. Десятки выступают в роли “x”, а единицы в роли “у”.
- Вычтите из загаданного числа цифры, которые составляют его. Складываем уравнение: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
- Число, которое вышло в результате вычислений должно указывать на определенный символ в таблице.
Не важно, какая цифра будет в роли “x”, так или иначе вы получите символ, у которого номер будет кратный девяти. Для того чтобы убедится в том, что под разными номерами находится один символ, достаточно просто посмотреть на таблицу и на номера 0,9,18,27,45,54,63,72,81 и последующие.
Многие хотя бы краем уха слыхали о волшебном квадрате (ВК). Однако далеко не каждый знает, что это такое, как его решать и как он работает. Хотите получить ответы на данные вопросы? Читайте данную статью!
Волшебный квадрат – специальная квадратная таблица, у которой в каждой ячейке вписано целое число. Сумма чисел в такой таблице вдоль любой из строк, столбца и диагоналей будет равна определенному столбцу. Допустим, имеем квадрат:
Чтобы убедиться в его «магических» свойствах нужно найти суммы 3 чисел по вертикали, горизонтали и диагонали:
Можно заметить, что как бы мы не добавляли, все равно получится цифра «15». Это значит, что данный квадрат является волшебным. Наверняка у многих из вас в голове появилась мысль: «В чем секрет? Как работает магический квадрат?». На этот вопрос я постараюсь ответить.
Многие считают, что свойства ВК обусловлены каким-то волшебством, чудесами, мистическими силами. Но вынужден сразу разочаровать таких людей. В этом явлении нет магии. Все строиться на основе специального уравнения.
Магическая константа
Как правило, перед тем как создать ВК, необходимо вычислить так называемую «магическую константу» (МК). Магическая константа это цифра, которую мы будем получать при суммировании чисел квадрата. Рассчитать МК можно с помощью довольно простого уравнения:
МК = (n*(n 2 + 1)): 2
В соответствии с условиями уравнения n – число, обозначающее количество строк или столбцов в квадратной таблице. Для наглядности с помощью данного уравнения вычислим МК для квадратной таблицы 3х3 (этот квадрат вы могли наблюдать выше).
- МК = (3*(3 2 + 1)): 2
- МК = (3*(9 + 1)): 2
- МК = (3*10):2
- МК = 30:2
- МК = 15
Стоит отметить, что существуют неполные магические квадраты (полу магические). Так называются ВК, потерявшие часть «волшебных» свойств. К примеру, если суммы чисел по диагонали не равны константе, то такой квадрат будет называться полу магическим.
Вычислив константу с помощью уравнения, вы можете заняться постройкой квадрата. Чтобы сделать ВК, необходимо руководствоваться четкой последовательностью действий.
Если число вылезло за правую сторону квадратной таблицы, напишите это число в самой отдалённой ячейке соответствующей строки.
- Второе исключение
Если число вылезло за верхнюю черту квадратной таблицы, напишите это число в самой низкой ячейке соответствующего столбика.
- Третье исключение
Если число попало на занятую ячейку, напишите его под предыдущим записанным числом.
Посмотрев на рисунок, вы можете заметить, что по принципу «одна строка вверх, один столбец вправо» мы должны поставить число «4» по центру верхнего столбца. Но мы не можем сделать этого, ведь ячейка уже занята цифрой «1». Поэтому мы, используя «третье исключение», ставим «4» под предыдущим записанным числом («3»).
Итог.
Мы рассмотрели основы и азы создания ВК и разобрали процесс постройки на примере самого простого квадрата размером 3х3. Можно создавать квадраты сложнее и масштабнее. Главное помнить, что все ВК создаются по схожим принципам.
В мире существует огромное множество ВК. На протяжении тысячелетий древние мудрецы, философы и математики создавали новые разновидности квадратов (квадрат Ян Хуэя, Кхаджурахо, Альбрехта Дюрера, Генри Дьюдени и Аллана Джонсона-младшего и т.д.). Примечательно то что все они разработаны с помощью одного и того же уравнения, которое было описано в данной статье.
К разновидностям ВК можно отнести неполные магические квадраты.
Первый ВК (именуется квадратом Ло Шу) замечен в 2200 г. до н. э. в Древнем Китае. Квадрат был нарисован на черепашьем панцире. Древние мудрецы считали ВК моделью пространства и рассчитывали, что с помощью магического квадрата можно решать проблемы вселенского масштаба. Но насколько мы знаем, на самом деле никакого чуда в этом нет, все сделано с помощью специального уравнения.
Однако, несмотря на это, Ло Шу применяется в нумерологии и по сей день. Цифры, обозначающие дату рождения человека, располагаются в ячейках квадратной таблицы. Затем числа расшифровываются в зависимости от местоположения и значения.
Ло Шу активно используется в практике фен-шуй. С его помощью определяют наиболее благоприятные зоны в зависимости от конкретного промежутка времени.
Также ВК используют в качестве головоломки. Наверняка вы часто встречали такую головоломку во время чтения газеты, но просто не акцентировали на этом внимания. Волшебный квадрат чем-то напоминает популярную японскую игру – судоку. ВК – одна из самых античных, старых головоломок в мире. Порой между учеными разгораются споры по поводу того что появилось раньше – судоку или ВК. Решать магические квадраты, как и другие головоломки, полезно для стимуляции мозговой деятельности. С помощью вышенаписанного уравнения, вы сможете создать собственную головоломку.
Видео про то как работает магический квадрат
МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
Магический, или волшебный квадрат - это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова.
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M.
Наименьшая магическая константа волшебного квадрата 3х3 равна 15, квадрата 4х4 равна 34, квадрата 5х5 равна 65,
Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.
Построение волшебного квадрата 3 х 3 с наименьшей
магической константой
Найдём наименьшую магическую константу волше́бного квадрата 3х3
1 способ
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1+9) + (2+8) + (3+7) + (4+6) + 5 = 45
4
5 :
3 = 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9
М = 15.
Число, записанное посередине 15 : 3 = 5
Определили, что посередине, записано число 5.
где n – число строк
Если можешь построить один магический квадрат, то нетрудно построить их любое количество. Поэтому запомним приёмы построения
магического квадрата 3х3 с константой 15.
1 способ построения. Расставь сначала по углам чётные числа
2,4,8,6 и посередине 5. Остальной процесс простая арифметика
15 – 6 = 9; 15 – 14 = 1 15 – 8 = 7; 15 – 12 = 3
2 способ решения
Используя найденный волшебный квадрат с константой 15, можно задавать множество разноплановых заданий:
Пример. Построить новые различные волшебные квадраты 3 х 3
Решение.
Сложив каждое число волшебного квадрата, или умножив его на одно и тоже число, получим новый волшебный квадрат.
Пример 1. Построить магический квадрат 3 х 3, у которого число, расположенное посередине, равно 13.
Решение.
Построим знакомый волшебный
квадрат с константой 15.
Найдём число, которое находится в
середине искомого квадрата
13 – 5 = 8.
К каждому числу волшебного
квадрата прибавим по 8.
Пример 2. Заполнить клетки волшебных
квадратов, зная магическую константу.
Решение. Найдём число,
записанное посередине 42: 3 = 14
42 – 34 = 8, 42 – 30 =12 42 – 20=22, 42 – 36=6 42–24=18, 42–32= 10
задания для самостоятельного решения
Примеры. 1. Заполнить клетки волшебных квадратов с магической
константой М =15.
1) 2) 3)
2. Найди магическую константу волшебных квадратов.
1) 2) 3)
3. Заполнить клетки волшебных квадратов, зная магическую константу
1) 2) 3)
М = 24 М = 30 М = 27
4 . Построить волшебный квадрат 3х3, зная, что магическая константа
равна 21.
Решение. Вспомним, как строится волшебный 3х3 квадрат по наименьшей
константе 15. По крайним полям записываются чётные числа
2, 4, 6, 8, а в середине число 5 (15: 3).
По условию надо построить квадрат по магической константе
21. В центре искомого квадрата должно быть число 7 (21: 3).
Найдём, насколько больше каждый член искомого квадрата
каждого члена с наименьшей магической константой 7 – 5 = 2.
Строим искомый волшебный квадрат:
21 – (4 + 6) = 
11
21 – (6 + 10) = 5
21 – (8 + 10) = 3
21 – (4 + 8) = 9
4. Построить волшебные квадраты 3х3, зная их магические константы
М = 42 М = 36 М = 33
М = 45 М = 40 М = 35
Построение волшебного квадрата 4 х 4 с наименьшей
магической константой
Найдём наименьшую магическую константу волше́бного квадрата 4х4
и числа, расположенного посередине этого квадрата.
1 способ
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +13 +14 + 15 + 16 =
(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+ (6+11)+ (7+10)+(8+9) = 17 х 8 = 136
136: 4= 34.
где n – число строк n = 4.
Сумма чисел на любой горизонтали,
вертикали и диагонали равна 34.
Эта сумма также встречается во всех
угловых квадратах 2×2, в центральном
квадрате (10+11+6+7), в квадрате из
угловых клеток (16+13+4+1).
Для построения любых волше́бных квадратов 4х4 надо: построить один
с константой 34.
Пример. Построить новые различные волшебные квадраты 4 х 4.
Решение.
Сложив каждое число найденного
волшебного квадрата 4 х 4 или
умножив его на одно и тоже число,
получим новый волшебный квадрат.
Пример. Построить магический
квадрат 4 х 4, у которого магическая
константа равна 46.
Решение. Построили знакомый волшебный
квадрат с константой 34.
46 – 34 = 12. 12: 4 = 3
К каждому числу волшебного квадрата
прибавим по 3.
Прежде чем приступить к решению более сложных примеров на волшебных квадратах 4 х 4 ещё раз проверь свойства, которыми он обладает, если М=34.
Примеры. 1. Заполнить клетки волшебного квадрата с магической
константой М =38.
н =38-(10+7+13)=8 д =38-(17+4+11)=6 в =38-(17+4+14)=3
е = 38-(12+7+8)=11 п =38-(17+6+10)=5 с =38-(3+12+8)=15
б =38-(11+7+16)=4 г =38-(5+7+12)=14 к =38-(6+11+12)=9
свойство 1,3,1 свойства 2,1,1 т =38-(14+9+13)=2
свойства 1,1,1,1
Ответ.
Задания для самостоятельного решения
Заполнить клетки волшебного квадрата с если известна магическая
константа
К = 46 К = 58 К = 62
Познакомься с волшебными квадратами 5х5 и 6х6
М = = =65. М = = = 111.
