План – конспект урока (МБОУ «Черноморская средняя школа №2»

ФИО учителя

Пономаренко Владислав Вадимович

Предмет

Алгебра

Дата проведения урока

19.09.2018

№ урока

Класс

9Б

Тема урока

(в соответствии с КТП)

«Разложение квадратного трёхчлена на множители»

Целеполагание

- обучающие: научить учащихся раскладывать на множители квадратный трёхчлен, научить применять алгоритм разложения на множители квадратного трехчлена при решении примеров, рассмотреть задания базы данных ГИА, в которых используется алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители

-развивающие: развивать у школьников умение формулировать проблемы, предлагать пути их решения, содействовать развитию у школьников умений выделять главное в познавательном объекте.

-воспитательные: помочь учащимся осознать ценность совместной деятельности, содействовать развитию у детей умений осуществлять самоконтроль, самооценку и самокоррекцию учебной деятельности.

Тип урока

изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование:

мультимедийный проектор, экран, компьютер, дидактический материал, учебники, тетради, презентация к уроку

Ход урока

1. Организационный момент: учитель приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку.

Мотивирует учащихся:

Сегодня на уроке в совместной деятельности мы подтвердим слова Пойа (Слайд 1).(«Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы». Двердь Пойа.)

Сообщение о Пойа (Слайд 2)

Я хочу сделать вызов вашей любознательности. Рассмотрим задание из ГИА. Постройте график функции .

Можем ли мы, насладиться радостью победы и выполнить данное задание? (проблемная ситуация).

Как решить эту проблему?

- Наметить план действий для решения этой проблемы.

Корректирует план урока, комментирует принцип самостоятельной работы.

Самостоятельная работа (классу раздать листочки с текстом самостоятельной работы) (Приложение 1)

Самостоятельная работа

Разложите на множители:

x 2 – 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2x 2 – 7x – 4.

Сократить дробь:

Слайд С ответами для самопроверки.

Вопрос классу :

Какие способы разложения многочлена на множители вы использовали?

Все ли многочлены вы смогли разложить на множители?

Все ли дроби смогли сократить?

Проблема2: Слайд

Как разложить на множители многочлен

2 x 2 – 7 x – 4?

Как сократить дробь?

Фронтальный опрос :

Что собой представляют многочлены

2 x 2 – 7 x – 4 и x 2 – 5 x +6?

Дайте определение квадратного трёхчлена.

Что мы знаем о квадратном трёхчлене?

Как найти его корни?

От чего зависит количество корней?

Сопоставьте эти знания с тем, что мы должны узнать и сформулируйте тему урока. (После этого на экране тема урока) Слайд

Поставим цель урока Слайд

Наметим конечный результат Слайд

Вопрос классу: Как решить эту проблему?

Класс работает в группах.

Задание группам:

по оглавлению найти нужную страницу, с карандашом в руках прочитать п.4 , выделить главную мысль, составить алгоритм, по которому любой квадратный трёхчлен можно разложить на множители.

Проверка выполнения задания классом (фронтальная работа):

Какова главная мысль пункта 4? Слайд (на экране формула разложения квадратного трёхчлена на множители).

Алгоритм на экране. Слайд

1.Приравнять квадратный трёхчлен к нулю.

2.Найти дискриминант.

3.Найти корни квадратного трёхчлена.

4.Подставить найденные корни в формулу.

5.Если необходимо, то внести старший коэффициент в скобки.

Ещё одна маленькая проблема : если D=0, то можно ли разложить квадратный трёхчлен на множители, и если можно, то как?

(Исследовательская работа в группах).

Слайд (на экране:

Если D = 0, то
.

Если квадратный трехчлен не имеет корней,

то его разложить на множители нельзя.)

Вернёмся к заданию в самостоятельной работе. Сможем ли теперь разложить на множители квадратные трёхчлены 2 x 2 – 7 x – 4 и x 2 – 5 x +6?

Класс работает самостоятельно, раскладывает на множители, я работаю индивидуально со слабыми учащимися.

Слайд (с решением) Взаимопроверка

Сможем ли сократить дробь?

Сократить дробь, вызываю к доске сильного ученика.

Вернёмся к заданию из ГИА. Сможем ли мы теперь построить график функции ?

Что является графиком данной функции?

Постройте график функции у себя в тетради.

Тест (с амостоятельная работа) Приложение 2

Самопроверка и самооценка Учащимся выданы листочки (Приложение 3), в которые надо записать ответы. В них даны критерии оценок.

Критерии оценок:

3 задания – оценка»4»

4задания – оценка «5»

Рефлексия: (слайд)

1.Сегодня на уроке я научился…

2.Сегодня на уроке я повторил…

3.Я закрепил…

4.Мне понравилось…

5.Я поставил себе оценку за деятельность на уроке…

6.Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…

7. Выполнили мы намеченный результат?

Слайд: Спасибо за урок!

Приложение 1

Самостоятельная работа

Разложите на множители:

x 2 – 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

x 2 + x - 2;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2 x 2 – 7 x – 4.

Сократить дробь:

Приложение 2

Тест

1 вариант

азложить на множители?

x 2 – 8x + 7;

x 2 – 8x + 16 ;

x 2 – 8x + 9;

x 2 – 8x + 1 7.

2 x 2 – 9 x – 5 = 2( x – 5)(…)?

Ответ: _________ .

Сократите дробь:

x – 3;

x + 3;

x – 4;

другой ответ.

Тест

2 вариант

Какой квадратный трехчлен нельзя р азложить на множители?

5 x 2 + x + 1;

⅓ x 2 –8x + 2;

0,1 x 2 + 3 x - 5;

x 2 + 4 x + 5.

Какой многочлен надо подставить вместо многоточия, чтобы было равенство: 2 x 2 + 5 x – 3 = 2( x + 3)(…)?

Ответ: _________ .

Сократите дробь:

3 x 2 – 6 x – 15;

0,25(3 x - 1);

0,25( x - 1);

другой ответ.

Приложение 3

Запишите ответы.

Критерии оценок:

Верно выполнено: 2 задание – оценка«3»

3 задания – оценка»4»

4задания – оценка «5»

Задание №1

Задание №2

Задание №3

1 вариант

2 вариант

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Теорема 1

Когда любой многочлен со степенью n , имеющие вид P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью a n и n линейных множителей (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , тогда P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , где x i , i = 1 , 2 , … , n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа x i , i = 1 , 2 , … , n и для комплексных коэффициентов a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x 1 и x 2 , относящиеся к многочлену вида P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q , где x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Теорема 2

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 на (x - s) , тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s , тогда получим

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , где Q n - 1 (x) является многочленом со степенью n - 1 .

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена P n (x) считается s , тогда P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида a x 2 + b x + c можно разложить на линейные множители. тогда получим, что a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , где x 1 и x 2 - это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Пример 1

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение

Необходимо найти корни уравнения 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 . Отсюда имеем, что

x 1 = 5 - 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1

Отсюда получаем, что 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1 .

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Пример 2

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3 x 2 - 7 x - 11 .

Решение

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 .

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 · 3 · (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 · 3 = 7 - 181 6

Отсюда получаем, что 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

Пример 3

Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.

Решение

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 · i x 2 = - 1 2 = - 1 2 · i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i .

Пример 4

Произвести разложение квадратного трехчлена x 2 + 1 3 x + 1 .

Решение

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 · 1 · 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 · 1 = - 1 3 + 35 3 · i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Получив корни, запишем

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 · i x - - 1 6 - 35 6 · i = = x + 1 6 - 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i

Замечание

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x 1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x - x 1) . Полученный многочлен нуждается в нахождении корня x 2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x 1 = 0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Пример 5

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4 x 3 + 8 x 2 - x на множители.

Решение

Видим, что x 1 = 0 - это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4 x 2 + 8 x - 1 . Найдем дискриминант и корни:

D = 8 2 - 4 · 4 · (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 · 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 · 4 = - 1 - 5 2

Тогда следует, что

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1 .

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Пример 6

Произвести разложение выражения f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 .

Решение

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа - 18 . Получим, что ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить коэффициенты разложения многочлена:

Отсюда следует, что х = 2 и х = - 3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x 2 + 2 x + 3 .

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Замечание

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Пример 7

Произвести разложение на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Решение

Необходимо выполнить замену переменной y = 2 x , следует переходить к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4 . Получаем, что

4 f (x) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Когда получившаяся функция вида g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Перейдем к вычислению функции g (y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что

g (1) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 = - 4 g (2) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60

Получаем, что у = - 5 – это корень уравнения вида y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 , значит, x = y 2 = - 5 2 - это корень исходной функции.

Пример 8

Необходимо произвести деление столбиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .

Решение

Запишем и получим:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x 2 + 7 x + 3 . Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Отсюда следует, что

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Искусственные приемы при разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Пример 9

Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 на множители.

Решение

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1 , - 1 , 2 и - 2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

1 4 + 4 · 1 3 - 1 2 - 8 · 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 · (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 - 2 2 - 8 · 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 · (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.

Необходимо провести группировку:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Замечание

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Пример 10

Произвести разложение на множители многочлен x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Решение

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

После разложения на множители получим, что

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Пример 11

Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 на множители.

Решение

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x + 1 4 .

Значит, имеем x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

После применения разности квадратов, получим

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Пример 12

Произвести разложение на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Решение

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Пример 13

Произвести разложение на множители многочлена вида x 6 + 5 x 3 + 6 .

Решение

По условию видно, что необходимо произвести замену y = x 3 . Получаем:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Корни полученного квадратного уравнения равны y = - 2 и y = - 3 , тогда

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Это один из самых элементарных способов упростить выражение. Для применения этого метода давай вспомним распределительный закон умножения относительно сложения (не пугайся этих слов, ты обязательно знаешь этот закон, просто мог забыть его название).

Закон гласит: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить, иначе говоря, .

Так же можно проделать и обратную операцию, вот именно эта обратная операция нас и интересует. Как видно из образца, общий множитель а, можно вынести за скобку.

Подобную операцию можно проделывать как с переменными, такими как и, например, так и с числами: .

Да, это слишком элементарный пример, так же, как и приведенный ранее пример, с разложением числа, ведь все знают, что числа, и делятся на, а как быть, если вам досталось выражение посложнее:

Как узнать на что, например, делится число, неет, с калькулятором-то любой сможет, а без него слабо? А для этого существуют признаки делимости, эти признаки действительно стоит знать, они помогут быстро понять, можно ли вынести за скобку общий множитель.

Признаки делимости

Запомнить их не так сложно, скорее всего, большинство из них и так тебе были знакомы, а что-то будет новым полезным открытием, подробнее в таблице:

Примечание: В таблице не хватает признака делимости на 4. Если две последние цифры делятся на 4, то и всё число делится на 4.

Ну как тебе табличка? Советую ее запомнить!

Что ж, вернемся к выражению, может вынести за скобку да и хватит с него? Нет, у математиков принято упрощать, так по полной, выносить ВСЕ что выносится!

И так, с игреком все понятно, а что с числовой частью выражения? Оба числа нечетные, так что на разделить не удастся,

Можно воспользоваться признаком делимости на, сумма цифр, и, из которых состоит число, равна, а делится на, значит и делится на.

Зная это, можно смело делить в столбик, в результате деления на получаем (признаки делимости пригодились!). Таким образом, число мы можем вынести за скобку, так же, как y и в результате имеем:

Чтоб удостовериться, что разложили все верно, можно проверить разложение, умножением!

Также общий множитель можно выносить и в степенных выражениях. Вот тут, например, видишь общий множитель?

У всех членов этого выражения есть иксы - выносим, все делятся на - снова выносим, смотрим что получилось: .

2. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения уже упоминались в теории, если ты с трудом помнишь что это, то тебе стоит освежить их в памяти .

Ну, а если ты считаешь себя очень умным и тебе лень читать такую тучу информации, то просто читай дальше, глянь на формулы и сразу берись за примеры.

Суть этого разложения в том, что бы заметить в имеющемся перед тобой выражении какую-то определенную формулу, применить ее и получить, таким образом, произведение чего-то и чего-то, вот и все разложение. Дальше приведены формулы:

А теперь попробуй, разложи на множители следующие выражения, используя приведенные выше формулы:

А вот что должно было получиться:

Как ты успел заметить, эти формулы - весьма действенный способ разложения на множители, он подходит не всегда, но может очень пригодиться!

3. Группировка или метод группировки

А вот тебе еще примерчик:

ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на что-то делится и на, а что-то на и на

Но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя , как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители?

Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке - группировка!

Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель.

Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать.

Не очень понятно все это? Объясню на примере:

В многочлене -- ставим член - после члена - получаем

группируем первые два члена вместе в отдельной скобке и так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем:

А теперь смотрим по отдельности на каждую из двух "кучек", на которые мы разбили выражение скобками.

Хитрость в том, чтоб разбить на такие кучки, из которых можно будет вынести максимально большой множитель, либо, как в этом примере, постараться сгруппировать члены так, чтобы после вынесения из кучек множителей за скобку у нас внутри скобок оставались одинаковые выражения.

Из обеих скобок выносим за скобки общие множители членов, из первой скобки, а из второй, получаем:

Но это же не разложение!

П осле разложения должно остаться только умножение , а пока у нас многочлен просто поделен на две части...

НО! Этот многочлен имеет общий множитель. Это

за скобку и получаем финальное произведение

Бинго! Как видишь, тут уже произведение и вне скобок нет ни сложения, ни вычитания, разложение завершено, т.к. вынести за скобки нам больше нечего.

Может показаться чудом, что после вынесения множителей за скобки у нас в скобках остались одинаковые выражения, которые опять же мы и вынесли за скобку.

И вовсе это не чудо, дело в том, что примеры в учебниках и в ЕГЭ специально сделаны так, что большинство выражений в заданиях на упрощение или разложение на множители при правильном к ним подходе легко упрощаются и резко схлопываются как зонтик при нажатии на кнопку, вот и ищи в каждом выражении ту самую кнопку.

Что-то я отвлекся, что у нас там с упрощением? Замысловатый многочлен принял более простой вид: .

Согласись, уже не такой громоздкий, как был?

4. Выделение полного квадрата.

Иногда для применения формул сокращенного умножения (повтори тему ) необходимо преобразовать имеющийся многочлен , представив одно из его слагаемых в виде суммы или разности двух членов.

В каком случае приходится это делать, узнаешь из примера:

Многочлен в таком виде не может быть разложен при помощи формул сокращенного умножения, поэтому его необходимо преобразовать. Возможно, поначалу тебе будет не очевидно какой член на какие разбивать, но со временем ты научишься сразу видеть формулы сокращенного умножения, даже если они не присутствуют не целиком, и будете довольно быстро определять, чего здесь не хватает до полной формулы, а пока - учись, студент, точнее школьник.

Для полной формулы квадрата разности здесь нужно вместо. Представим третий член как разность, получим: К выражению в скобках можно применить формулу квадрата разности (не путать с разностью квадратов!!!) , имеем: , к данному выражению можно применить формулу разности квадратов (не путать с квадратом разности!!!) , представив, как, получим: .

Не всегда разложенное на множители выражение выглядит проще и меньше, чем было до разложения, но в таком виде оно становится более подвижным, в том плане, что можно не париться про смену знаков и прочую математическую ерунду. Ну а вот тебе для самостоятельного решения, следующие выражения нужно разложить на множители.

Примеры:

Ответы:​

5. Разложение квадратного трехчлена на множители

О разложении квадратного трехчлена на множители смотри далее в примерах разложения.

Примеры 5 методов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки. Примеры.

Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило:

Пример:

Разложить многочлен на множители.

Решение:

Еще пример:

Разложи на множители.

Решение:

Если слагаемое целиком выносится за скобки, в скобках вместо него остается единица!

2. Формулы сокращенного умножения. Примеры.

Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему !

Пример:

Разложите на множители выражение.

Решение:

В этом выражении несложно узнать разность кубов:

Пример:

Решение:

3. Метод группировки. Примеры

Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.

Пример:

Разложите на множители многочлен.

Решение:

Сгруппируем слагаемые следующим образом:
.

В первой группе вынесем за скобку общий множитель, а во второй − :
.

Теперь общий множитель также можно вынести за скобки:
.

4. Метод выделения полного квадрата. Примеры.

Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).

Пример:

Разложите на множители многочлен.

Решение: Пример:

\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+6{x}-7=\underbrace{{{x}^{2}}+2\cdot 3\cdot x+9}_{квадрат\ суммы\ {{\left(x+3 \right)}^{2}}}-9-7={{\left(x+3 \right)}^{2}}-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end{array}

Разложите на множители многочлен.

Решение:

\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1=\underbrace{{{x}^{4}}-2\cdot 2\cdot {{x}^{2}}+4}_{квадрат\ разности{{\left({{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}}-4-1={{\left({{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-5= \\
=\left({{x}^{2}}-2+\sqrt{5} \right)\left({{x}^{2}}-2-\sqrt{5} \right) \\
\end{array}

5. Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример.

Квадратный трехчлен - многочлен вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.

Значения переменной, которые обращают квадратный трехчлен в ноль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена - это корни квадратного уравнения.

Теорема.

Пример:

Разложим на множители квадратный трехчлен: .

Сначала решим квадратное уравнение:Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители:

Теперь твое мнение...

Мы расписали подробно как и для чего раскладывать многочлен на множители.

Мы привели массу примеров как это делать на практике, указали на подводные камни, дали решения...

А что скажешь ты?

Как тебе эта статья? Ты пользуешься этими приемами? Понимаешь их суть?

Пиши в комментриях и... готовься к экзамену!

Пока что он самый важный в твоей жизни.

Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.

Эта математическая программа выделяет квадрат двучлена из квадратного трехчлена , т.е. делает преобразование вида:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) и раскладывает на множители квадратный трехчлен : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \(p, q \) и \(n, m \)

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного многочлена

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} x + \frac{1}{7}x^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки . В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Пример подробного решения

Выделение квадрата двучлена. $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} = $$ $$2\left(x^2 + 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x + \left(\frac{1}{2} \right)^2 \right)-\frac{9}{2} = $$ $$2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$ Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$ Разложение на множители. $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Решить

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудьте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+p) 2 +q, где p и q - действительные числа, то говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена .

Выделим из трехчлена 2x 2 +12x+14 квадрат двучлена.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 3 2 . Получим:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена , и показоли, что:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Разложение на множители квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m - действительные числа, то говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена .

Покажем на примере как это преобразование делается.

Разложим квадратный трехчлен 2x 2 +4x-6 на множители.

Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Преобразуем выражение в скобках.
Для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. Получим:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен , и показоли, что:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому трехчлену имеет корни.
Т.е. в нашем случае разложить на множители трехчлен 2x 2 +4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2x 2 +4x-6 =0 имеет корни. В процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2x 2 +4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3, т.к. при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство.

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач

У него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых (). Вот и получается – квадратный трехчлен.

Примеры не квадратных трехчленов:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - кубический четырёхчлен
\(2x+1\) - линейный двучлен

Корень квадратного трехчлена:

Пример:
У трехчлена \(x^2-2x+1\) корень \(1\), потому что \(1^2-2·1+1=0\)
У трехчлена \(x^2+2x-3\) корни \(1\) и \(-3\), потому что \(1^2+2-3=0\) и \((-3)^2-6-3=9-9=0\)

Например: если нужно найти корни для квадратного трехчлена \(x^2-2x+1\), приравняем его к нулю и решим уравнение \(x^2-2x+1=0\).

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac{2-0}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Готово. Корень равен \(1\).

Разложение квадратного трёхчлена на :

Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно разложить как \(a(x-x_1)(x-x_2)\), если уравнения \(ax^2+bx+c=0\) больше нуля \(x_1\) и \(x_2\) - корни того же уравнения).

Например , рассмотрим трехчлен \(3x^2+13x-10\).
У квадратного уравнения \(3x^2+13x-10=0\) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны \(-5\) и \(\frac{2}{3}\). Поэтому \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac{2}{3})\). В верности этого утверждения легко убедится – если мы , то получим исходный трехчлен.

Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно представить как \(a(x-x_1)^2\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) равен нулю.

Например , рассмотрим трехчлен \(x^2+6x+9\).
У квадратного уравнения \(x^2+6x+9=0\) дискриминант равен \(0\), а единственный корень равен \(-3\). Значит, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (здесь коэффициент \(a=1\), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по .

Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) меньше нуля.

Например , у трехчленов \(x^2+x+4\) и \(-5x^2+2x-1\) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.

Пример . Разложите на множители \(2x^2-11x+12\).
Решение :
Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2-11x+12=0\)

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac{11-5}{4}=1,5;\) \(x_2=\frac{11+5}{4}=4.\)

Значит, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Ответ : \(2(x-1,5)(x-4)\)

Полученный ответ, может быть, записать по-другому: \((2x-3)(x-4)\).

Пример . (Задание из ОГЭ) Квадратный трехчлен разложен на множители \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Найдите \(a\).
Решение:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac{-33-17}{10}=-5\)
\(x_2=\frac{-33+17}{10}=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Ответ : \(-1,6\)